Zkouška 25.5.2009

Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod dzasko » 25. 5. 2009 15:17

1) T operátor na C[-1,1], Tf=Integral -11 t*f(t) dt. Spočítejte normu T.
2) Operátor T na l5, Tx=(x2,x3,x4,x5,....). Vyšetřete spektrum T a určete, zda je T kompaktní.
3) Nalezněte ortogonální doplněk množiny M={x z l2: x1+x2+x3=0}.

Na ústní jsem dostal otázku
1) Hahn-Banachova věta pro NLP a její důsledky
2) Věta o inverzním zobrazení

Z písemky jsem neměl dobře první příklad, v ústní jsem u 1) napsal H.-B. větu a 4 její důsledky, vše s důkazy. U 2) jsem napsal jen znění věty, chtěl po mě ještě doplnit, jak plyne z věty o otevřeném zobrazení, což jsem nevěděl. Tohle všechno ohodnotil známkou 3, ale shodli jsme se s ostatními, že u nich byl o něco mírnější. Já bych to viděl spíš na 2 :)
dzasko
 

Re: Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod quark87 » 25. 5. 2009 16:14

Moje zadanie písomky:
1. Príklad 14.2 zo skrípt Prof. Lukeša
2. Príklad 14.18 opäť zo skrípt
3. dokázať, že na C[0,1] nejde zaviesť skalárny súčin tak, aby bol zhodný s pôvodnou normou na C[0,1].

Ústna časť:
1. Veta o Neumannovom rade a k čomu je to dobré
2. slabá konvergencia

K písomke: vačšinou sú to všetko príklady, ktoré sa buď počítali na cvičení alebo sú riešené v skríptách. K príkladu 2: podľa mňa je v skríptách riešený moc zložito a preto je to lepšie riešiť elementárne, výjde to úplne v pohode :wink:
Na ústnej som bol u Prof. Netuku. Príklady som mal všetky správne, pozrel sa na dôkaz Neumanna a slabú topológiu len prebehol :) a spýtal sa doplňujúcu otázku: príklad postupnosti, ktorá konverguje slabo, ale nekonverguje (silno). Samotná ústna skúška trvala asi 5 min, ale musel som na ňu čakať viac ako 2 hodiny.
quark87
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 28
Registrován: 28. 6. 2006 21:51
Typ studia: Matematika Mgr.

Re: Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod Thomyy » 25. 5. 2009 18:57

Příklady:
1) Spočtěte normu operátoru Tf = 7f(-1) - 2f(0) + f(1/2), kde f z C[-1,1].
2) Vyšetřete spektrum, bodové spektrum operátotu Tx = (0, x1, x2/2,x3/3,...). Zjistěte normu a kompaktnost operátoru.
3) Dokažte, že Tf = 1/2 ( f(x) + f(-x) ) je projekce. Spočtěte normu a napište KerT a obor hodnot T.

Ústní:
1) Hahn-Banachova věta (algebraická verze)
2) Věta o uzavřeném grafu

Na ústní je nejhorší to, že musíš čekat, než na tebe přijde řada. U Netuky jsem byl jen chvilku, projel se mnou příklady,
kouknul na teorii a zadal doplňující otázku, zda je v důkazu H-B věty ta kontrola funkce (rozuměj p: X -> R takové, že f <= p) jednoznačně určená - odpověď je ne:)
Jinak si myslím, že byl docela milej, akorát u kolegy dzaska asi už neměl dobrou náladu...
Veni, vidi, a někdy možná vici :-P
Thomyy
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 9
Registrován: 23. 12. 2006 22:41
Typ studia: Matematika Bc.

Re: Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod weit_angel » 26. 5. 2009 09:15

Příklady :
1) spočtěte normu operátoru : Tf = Int (od 0 do 1) f(sqrt(2))dt na C(0,1)
2) spočtěte bodové spektrum, spektrum a zda je operátor kompaktní : T {x_n} = (0,x_1,1/2*x_2,1/3*x_3,...)
3) ukažte, že na l^1 nelze zavést skalární součin.

Na ústní jsem byl u Lavičky, ten mi zadal tyto otázky :
1) Slabá konvergence
2) Věta o uzavřeném grafu

Při samotné zkoušce byl velice milý. Řekl bych, že pokud tam toho mate napsaného dost (a správně :-)), tak se skoro na nic neptá. Po mě chtěl navíc akorát příklad posloupnosti, která konverguje slabě, ale silně už ne. Celá ústní část mi trvala asi tak 10-15 minut. Ale musím opakovat to, co už říkali ostatní, že ta zkouška se může opravdu protáhnout.. písemná část začínala v 9 00, ze školy jsem odcházel v 14 00, a naprostou většinu té doby jsem jenom čekal :-). Tak hodně štěstí.
weit_angel
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 3
Registrován: 23. 1. 2009 11:15
Typ studia: Matematika Bc.

Re: Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod Matfyzacka » 26. 5. 2009 12:26

Moje zadani:
1, norma funkcionalu na prostoru C[0,1]: Tf = int_0^1 f(sqrt{t}) dt.
2, Bodove spektrum, spektrum a kompaktnost operator T na l^2: T{x_n} = (0,x_1, x_2 /2, x_3 /3, ...)
3, Ukazte, ze do prostoru l^1 nelze zavest skalarni soucin tak, aby dal puvodni normu tohoto prostoru.

Vse z Lukesovych skript, prvni dva resene, posledni nereseny.

Ustni: 1, vse, co vis o spektru
2, Separabilita se dedi dolu

Na ustni jsem byla u Netuky, priklady bez chyby, jen se zeptal, jak by se zmenilo spektrum, kdybych u druheho prikladu nemela prvni 0, ale rovnou x_1. O spektru jsem naspala vse, co jsme si rikali a dokazala jeho kompaktnost, dedeni separability s dukazem. Opet nemel poznamky, jen se zeptal, jestli vim protipriklad k tomu, ze separabilita se nededi nahoru. Po 5 vterinach, co jsem premyslela, mi napsal (L^1)* izo L^oo a zeptal se, ktery je separabilni a ktery ne, a pak jak bych ukazala neseparabilitu L^oo, pricemz mi vzapeti namaloval obrazek, zeptal se jaka je vzdalenost tech dvou veci, ja odpovedela a sla s jednickou :) Kdyz jsme srovnavali se skupinou od Lavicky, usoudili jsme, ze lepsi na ustni je asi Netuka.... Lavickovi se napr. nelibilo zneni "nasi" Banach-Steinhausovy vety
Matfyzacka
 

Re: Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod Teminka » 26. 5. 2009 15:34

tady je moje zadani..

Priklady z uvodu do funcionalky

1...14.5 stranka 83
2...14.15 stranka 90
3...14.23 stranka 95

Na ustni vybiral Lavicka asi z 20 temat...Ja dostal Hanh banachova veta algebraicka verze + dukaz, Reflexni prostor, aplikace plus priklad..Ostatni dostavali...Slaba konvergence, hanh banachova veta lnp plus aplikace, spektrum dal uz nevim ..Jinak Lavicka uplne v pohode akorat neuveritelne pomaly, jelikoz si sam overuje jestli to tak plati...takze se muze stat ze tam stravite cele dopoledne a ty posledni i odpoledne...ronald-jr.
Teminka
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 3
Registrován: 28. 1. 2007 11:07
Typ studia: Matematika Bc.

Re: Zkouška 25.5.2009

Příspěvekod kejml » 9. 6. 2009 11:12

Ahoj, moje otázky:

Příklady: Skripta Lukeše:
14.4, str. 83;
14.10, str. 86;
14.33, str. 96

Teorie: Banach-Steinhausova věta + důkaz, vše, co víš o reflexivních prostorech.
kejml
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 8
Registrován: 18. 1. 2007 18:23


Zpět na Vybrané partie z funkcionální analýzy

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 0 návštevníků