nový předmět... Předměty MIB
- amorphus
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 8
- Registrován: 29. 5. 2006 14:04
- Typ studia: Informatika Bc.
- Bydliště: Poděbrady
- Kontaktovat uživatele:
nový předmět... Předměty MIB
abych tam mohl psát zadání zkoušek..
- amorphus
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 8
- Registrován: 29. 5. 2006 14:04
- Typ studia: Informatika Bc.
- Bydliště: Poděbrady
- Kontaktovat uživatele:
Úvod do algebry 12.1.2006
Zatím to napíšu sem:
zadání zkoušky Úvodu do algebry se Stanovským:
nejdřív je písemný test s 15 otázkama - definice, věty, pár příkladů. Na postup je potřeba 10 nebo 11 bodů (nepamatuju se, myslím že 11), čtyřka je za míň jak 7,5. Všechny otázky si už asi nepamatuju, ale bylo tam:
1. Formulujte Burnsideovu větu, pečlivě vysvětlete značení. (Vyplatí se nezapomenut na předpoklad, že ty množiny jsou konečný)
2. Definujte podalgebru algebry A generovanou množinou X.
3. Definujte podokruh a ideál a hlavní ideál.
4. Definujte grupu Zn*.
5. Definujte faktorokruh okruhu R podle ideálu I.
6. Která z následujících tvrzení platí (a proč):
a)Rozšíření koneč. stupně je algebraické.
b)Algebraické rozšíření je konečného stupně.
c)T(a), kde a je algebraické nad T, je konečného stupně.
d)Rozšíření o transcendentní prvek může být konečné.
7. Charakterizujte cyklické grupy (takový to že jsou izomorfní Z nebo Zn).
8. Definujte n-násobný kořen polynomu p.
9. Jaký je řád prvku 2 v Z63? (2^6=64=1 mod 63)
10. Může mít neabelovská grupa abelovskou fakrotgrupu? (ano, třeba Sn/An je izomorfní Z2)
11. Je 5 ze Z[x] invertibilní? (ne)
12. Je (třetí odmocnina z 5 - druhá odmocnina z 2) algebraická nad Q? Proč? (ano, je prvkem Q(třetí odm. z 5, 2. odm. z 2), což je algebraické rozšíření)
13. Jaký je minimální polynom prvku i/2 nad Q? (x+1/4)
14. Napište základní větu aritmetiky.
a ten poslední fakt nevím
No a pak si člověk vylosuje papírek s dalšíma třema otázkama, já měl:
1) {px + 3q; p, q z R[x]}. Je to a) ideál, b) hlavní ideál, c) maximální ideál, pokud R= 1) Z, 2) Q?
je jasný že je to v obou případech ideál. Je to celý Q[x], čili hlavní ideál v Q[x], ale ne maximální - ten je z definice vlastní podmnožina. V Z[x] je to maximální ideál, protože jsou tam všechny polynomy s abs. členem dělit. třema a kdybysme přidali polynomy s abs. členem jiným, tak to už bude celý Z[x] (prý). A hlavní ideál to není, protože např. 3 a x tam leží ale nemají společný dělitele.
2) Rozklady grup, Lagrangeova věta
3) Důkaz existence kořenového a rozkladového nadtělěsa. (Pak se mě ještě ve stručnosti zeptal na důkaz jednoznačnosti kořenovýho nadtělesa.)
zadání zkoušky Úvodu do algebry se Stanovským:
nejdřív je písemný test s 15 otázkama - definice, věty, pár příkladů. Na postup je potřeba 10 nebo 11 bodů (nepamatuju se, myslím že 11), čtyřka je za míň jak 7,5. Všechny otázky si už asi nepamatuju, ale bylo tam:
1. Formulujte Burnsideovu větu, pečlivě vysvětlete značení. (Vyplatí se nezapomenut na předpoklad, že ty množiny jsou konečný)
2. Definujte podalgebru algebry A generovanou množinou X.
3. Definujte podokruh a ideál a hlavní ideál.
4. Definujte grupu Zn*.
5. Definujte faktorokruh okruhu R podle ideálu I.
6. Která z následujících tvrzení platí (a proč):
a)Rozšíření koneč. stupně je algebraické.
b)Algebraické rozšíření je konečného stupně.
c)T(a), kde a je algebraické nad T, je konečného stupně.
d)Rozšíření o transcendentní prvek může být konečné.
7. Charakterizujte cyklické grupy (takový to že jsou izomorfní Z nebo Zn).
8. Definujte n-násobný kořen polynomu p.
9. Jaký je řád prvku 2 v Z63? (2^6=64=1 mod 63)
10. Může mít neabelovská grupa abelovskou fakrotgrupu? (ano, třeba Sn/An je izomorfní Z2)
11. Je 5 ze Z[x] invertibilní? (ne)
12. Je (třetí odmocnina z 5 - druhá odmocnina z 2) algebraická nad Q? Proč? (ano, je prvkem Q(třetí odm. z 5, 2. odm. z 2), což je algebraické rozšíření)
13. Jaký je minimální polynom prvku i/2 nad Q? (x+1/4)
14. Napište základní větu aritmetiky.
a ten poslední fakt nevím
No a pak si člověk vylosuje papírek s dalšíma třema otázkama, já měl:
1) {px + 3q; p, q z R[x]}. Je to a) ideál, b) hlavní ideál, c) maximální ideál, pokud R= 1) Z, 2) Q?
je jasný že je to v obou případech ideál. Je to celý Q[x], čili hlavní ideál v Q[x], ale ne maximální - ten je z definice vlastní podmnožina. V Z[x] je to maximální ideál, protože jsou tam všechny polynomy s abs. členem dělit. třema a kdybysme přidali polynomy s abs. členem jiným, tak to už bude celý Z[x] (prý). A hlavní ideál to není, protože např. 3 a x tam leží ale nemají společný dělitele.
2) Rozklady grup, Lagrangeova věta
3) Důkaz existence kořenového a rozkladového nadtělěsa. (Pak se mě ještě ve stručnosti zeptal na důkaz jednoznačnosti kořenovýho nadtělesa.)
Úvod do algebry
Tak tedy zkouška z 15.1. Úvodu do algebry s (RNDr.) D. Stanovským -
jak už bylo řečeno Zk se skládá z písemné části, kde je třeba získat 10 bodů z 15ti (já proklouzl s 10 ), nad 7,5b si nevyplýtváváte pokus, na ústní to pak už přesně definované není, ale řekl bych, že pokud to tam úpně 'nezkoníte', tak aspoň za 3 to bude...
Každý si vylosuje/dostane svoje zadání (na písemné i ústní)
Ja na ústní měl:
1) Zjistit všechny normální podgrupy grupy D_8 (dihedrální grupa všech symetrií 4-úhelníka )
2)Obory integrity - definice, příklady, př. konečných, (dokázat) krácení; podílové těleso
3)dokázat, že (Z_p)* je cyklická
1)tam jsem docela plaval, ale nakonec řekl, že to jde čistě přes vypsání všech podgrup a zjištění, které jsou normální (pravý/levý rozklad podle norm. podgr. je stejný); k tomu mi pak poradil, že normální je <=> uzavřená na konjugace + konjugace zachovává strukturu permutace (stejné délky cyklů)
2)tam není moc co vymýšlet, ale platí něco jako že konečné OI jsou polynomy nad tělesy (tak nějak), což jsem moc neukázal...; podílové těleso jsem docela odvodil z toho, že chceme k OI přidat inverzy vůči násobení - tam mi taky občas ale chybělo něco dokázat
3)nám ukazoval takový důkaz přes Exp(onent) grupy, jak jsou k němu potřeba tři lemmata...já ukázal ten postup, s důkazem Lemmatu(č.3) jsem začal, ale já sotva udělal první krok (přes spor)...pak mi sám řekl, že si to moc přesně nepamatuje; myslím, že by stačilo udělat dk. s předpokladem platnosti tohoto Lemmatu a naznačit dk. Lemmatu...
písemná:
1)def. Euler. fci a napsat Euler. větu
2)Homo dvou algeber (typu (1,0))
3)def. obor integrity
4)translace abel. grup a zákl. vlastnosti (je to permutace + lze dodef. unární operaci)
5)algoritmus výpočtu řešení difrenční rovnice
6)posledni dve cifry 11^441
7)najít kořenové nadtěleso pnomu x^3-x^2+2x-2 z Q[x]
8)kolik stabilizátorů má působení grupy D_12 na pravidelný šestiúhelník
9)rozklad grupy G podle normální podgrupy H
10)určit pravdivé výroky - a)algebr. rozšíření je konečného stupně; b)rozšíření konečného stupně je algebr.; c)T(a), kde a je algebraické nad T, je konečného stupně.; d)rozšíčení o transcendentní prvek může být konečného stupně
11)def. ireducibilní prvek
12)existuje v 73-prvkové grupě prvek řádu 11? Pokud ano - příklad grupy a prvku; Ne - zdůvodnit
13)Charakterizujte cyklické grupy (izomorfní Z nebo Zn)
14) Formulujte Burnsideovu větu, pečlivě vysvětlete značení (předpoklad - množiny jsou konečné!)
víc si toho už nepamatuji...
na závěr: vzhledem k tomu, že každý má své zadání a na konci si je bere zpět - pravděpodobně verzí zadání pís./úst. částí je dané množství a z toho si taháte...; když projdete písemnou, napněte (zbytky) síly - už jste krok od získání Zk
všem hodně štěstí...
P.S.: Veškerá tvrzení ohledně samotné látky, co jsem tady uvedl si raděj prosím ověřte, je možné, že jsem někde něco popletl...
jak už bylo řečeno Zk se skládá z písemné části, kde je třeba získat 10 bodů z 15ti (já proklouzl s 10 ), nad 7,5b si nevyplýtváváte pokus, na ústní to pak už přesně definované není, ale řekl bych, že pokud to tam úpně 'nezkoníte', tak aspoň za 3 to bude...
Každý si vylosuje/dostane svoje zadání (na písemné i ústní)
Ja na ústní měl:
1) Zjistit všechny normální podgrupy grupy D_8 (dihedrální grupa všech symetrií 4-úhelníka )
2)Obory integrity - definice, příklady, př. konečných, (dokázat) krácení; podílové těleso
3)dokázat, že (Z_p)* je cyklická
1)tam jsem docela plaval, ale nakonec řekl, že to jde čistě přes vypsání všech podgrup a zjištění, které jsou normální (pravý/levý rozklad podle norm. podgr. je stejný); k tomu mi pak poradil, že normální je <=> uzavřená na konjugace + konjugace zachovává strukturu permutace (stejné délky cyklů)
2)tam není moc co vymýšlet, ale platí něco jako že konečné OI jsou polynomy nad tělesy (tak nějak), což jsem moc neukázal...; podílové těleso jsem docela odvodil z toho, že chceme k OI přidat inverzy vůči násobení - tam mi taky občas ale chybělo něco dokázat
3)nám ukazoval takový důkaz přes Exp(onent) grupy, jak jsou k němu potřeba tři lemmata...já ukázal ten postup, s důkazem Lemmatu(č.3) jsem začal, ale já sotva udělal první krok (přes spor)...pak mi sám řekl, že si to moc přesně nepamatuje; myslím, že by stačilo udělat dk. s předpokladem platnosti tohoto Lemmatu a naznačit dk. Lemmatu...
písemná:
1)def. Euler. fci a napsat Euler. větu
2)Homo dvou algeber (typu (1,0))
3)def. obor integrity
4)translace abel. grup a zákl. vlastnosti (je to permutace + lze dodef. unární operaci)
5)algoritmus výpočtu řešení difrenční rovnice
6)posledni dve cifry 11^441
7)najít kořenové nadtěleso pnomu x^3-x^2+2x-2 z Q[x]
8)kolik stabilizátorů má působení grupy D_12 na pravidelný šestiúhelník
9)rozklad grupy G podle normální podgrupy H
10)určit pravdivé výroky - a)algebr. rozšíření je konečného stupně; b)rozšíření konečného stupně je algebr.; c)T(a), kde a je algebraické nad T, je konečného stupně.; d)rozšíčení o transcendentní prvek může být konečného stupně
11)def. ireducibilní prvek
12)existuje v 73-prvkové grupě prvek řádu 11? Pokud ano - příklad grupy a prvku; Ne - zdůvodnit
13)Charakterizujte cyklické grupy (izomorfní Z nebo Zn)
14) Formulujte Burnsideovu větu, pečlivě vysvětlete značení (předpoklad - množiny jsou konečné!)
víc si toho už nepamatuji...
na závěr: vzhledem k tomu, že každý má své zadání a na konci si je bere zpět - pravděpodobně verzí zadání pís./úst. částí je dané množství a z toho si taháte...; když projdete písemnou, napněte (zbytky) síly - už jste krok od získání Zk
všem hodně štěstí...
P.S.: Veškerá tvrzení ohledně samotné látky, co jsem tady uvedl si raděj prosím ověřte, je možné, že jsem někde něco popletl...
Uvod do algebry
Dostal jsem otazky docela podobne tem, jake zde jiz jsou napsany. Pisu proto jen ty, ktere zde jeste nezaznely:
1) definujte homomorfismus grup, jadro a obraz homomorfismu
2) najdete vsechny podgrupy Z_6* [je dvouprvkova takze ma jenom nevlastni podgrupy]
3) definujte algebru a typ algebry
4) pusobi-li na sestiuhelnik grupa D_12, jaka je velikost stabilizatoru libovolneho bodu toho sestiuhelniku [je dvouprvkovy: id a preklopeni podle osy, ktera tim bodem prochazi]
5) definujte linearni homogenni diferencni rovnici s konstantnimi koeficienty, charakteristicky polynom a pocatecni podminky.
6) necht S je nadokruh okruhu R, definujte R[a_1,a_2,...,a_n], kde a_i jsou z S, popiste vyjadreni prvku z R[a_1,a_2,...,a_n] pomoci polynomu.
Dostal jsem take zneni Burnsideovy vety a peclive vysvetlit znaceni, zda se ze je to hodne popularni.
Na zaver jedna dobra zprava: kdyz to napisete na plny pocet bodu tak uz nemusite na ustni.
1) definujte homomorfismus grup, jadro a obraz homomorfismu
2) najdete vsechny podgrupy Z_6* [je dvouprvkova takze ma jenom nevlastni podgrupy]
3) definujte algebru a typ algebry
4) pusobi-li na sestiuhelnik grupa D_12, jaka je velikost stabilizatoru libovolneho bodu toho sestiuhelniku [je dvouprvkovy: id a preklopeni podle osy, ktera tim bodem prochazi]
5) definujte linearni homogenni diferencni rovnici s konstantnimi koeficienty, charakteristicky polynom a pocatecni podminky.
6) necht S je nadokruh okruhu R, definujte R[a_1,a_2,...,a_n], kde a_i jsou z S, popiste vyjadreni prvku z R[a_1,a_2,...,a_n] pomoci polynomu.
Dostal jsem take zneni Burnsideovy vety a peclive vysvetlit znaceni, zda se ze je to hodne popularni.
Na zaver jedna dobra zprava: kdyz to napisete na plny pocet bodu tak uz nemusite na ustni.