Otázky na státnicové materiály

Vše co se týká bakalářských státních závěrečných zkoušek.

Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod kaja » 7. 8. 2011 22:53

Mám pár dotázek na státnicové materiály, asi nebudu sám (plus, moje otázky budou asi přibývat :)), tak jsem na to založil thread.

(1)
Na stránce 20 u matiky se zavádí exp a potom logaritmus axiomaticky. To se mi hrozně líbí, ale zajímalo by mě, jak se dokáže, že ta funkce exp vůbec existuje a že je právě 1. (důkaz, že existuje si asi dokážu představit - definuje se e jako součet řady, obecná mocnina se dá definovat taky bez takhle axiomaticky stavěné funkce exp, a tím jí vlastně už máme - jak ale dokážeme, že je právě jedna?)

(2)
Podobně axiomaticky jsou tam zavedené sin a cos, opět ta samá otázka - jak dokážeme, že existují?

Pultr má tohle ve scých skriptech taky okolo strany dvacet trochu jinak - definuje axiomaticky logaritmus a až z něj exp, ale taky nedokáže, že jednoznačně existuje (má tam, že to dokáže jinde, ale já to nenašel), a siny/cosiny pro jistotu nedefinuje vůbec a jenom je tam tak prdne :)
PONIES
Uživatelský avatar
kaja
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 99
Registrován: 20. 12. 2007 00:53
Bydliště: Miðgarðr
Typ studia: Informatika Bc.
Login do SIS: bilek7am

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod rur » 8. 8. 2011 14:31

Standa Hencl, pokud si dobře pamatuju, dokazoval existenci sinu a cosinu, nektere vlastnosti sinu a cosinu, a pak neco s tou exponencielou - to nevim jestli dokazoval jeji existenci, nebo jestli ji zadefinoval a pak dokazoval jeji vlastnosti. Nikdy jsem nic z toho neuměl dokázat, ale někde to doma mám, tak jestli po tom prahneš, můžu ti to naskenovat :-)
rur
 

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod kaja » 8. 8. 2011 17:50

Ahoj.

Prahnu!

U Pultra jsem našel (s jeho pomocí :) ) existenci logaritmu jako \log(x)=\int_1^x \! \frac{1}{t} \, d t.
PONIES
Uživatelský avatar
kaja
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 99
Registrován: 20. 12. 2007 00:53
Bydliště: Miðgarðr
Typ studia: Informatika Bc.
Login do SIS: bilek7am

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod rur » 9. 8. 2011 22:52

Ehm, samozřejmě jsem na tebe nezapomněl, proto ti to zítra naskenuju. Snad o:-)
rur
 

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod rur » 11. 8. 2011 11:39

http://www.uloz.to/9942756/matematicka-analyza-zip

Souhlasím s volným šířením kamkoliv, bude-li to někomu připadat, že to za to stojí.
rur
 

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod kaja » 29. 8. 2011 19:24

Další věc.

Úplně na konci lineární algebry je napsáno

Nechť dim V = n a dim W = m. Potom prostor L(V,W) je isomorfní prostoru \mathbb{R}^{m \times n}.

Mě to přijde jako nějaká kokotina. Pokud mám prostor V={0} a W={0}, tak ať jsou nad čímkoliv, tak mají dimenzi 1 v každém prostoru (báze je {0}), zobrazení f(0)=0 je lineární, je to zároveň jediné, prostor L(V,W) je potom jenom tohle f, ale množina, kde je jenom f, určitě není isomorfní R.

I kdyby to m\times n bylo myšleno jako množinové násobení (což mi teda došlo až teď :)), tak by to mělo být isomorfní \mathbb{R}, a to zase nedává smysl.

A vůbec. Nějak nechápu, kde se tam vezme to R, když ani to těleso, ani ten prostor nemusí mít s R nic společného.
PONIES
Uživatelský avatar
kaja
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 99
Registrován: 20. 12. 2007 00:53
Bydliště: Miðgarðr
Typ studia: Informatika Bc.
Login do SIS: bilek7am

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod peterblack » 29. 8. 2011 20:23

kaja píše:Další věc.

Úplně na konci lineární algebry je napsáno

Nechť dim V = n a dim W = m. Potom prostor L(V,W) je isomorfní prostoru \mathbb{R}^{m \times n}.

Mě to přijde jako nějaká kokotina. Pokud mám prostor V={0} a W={0}, tak ať jsou nad čímkoliv, tak mají dimenzi 1 v každém prostoru (báze je {0}), zobrazení f(0)=0 je lineární, je to zároveň jediné, prostor L(V,W) je potom jenom tohle f, ale množina, kde je jenom f, určitě není isomorfní R.

I kdyby to m\times n bylo myšleno jako množinové násobení (což mi teda došlo až teď :)), tak by to mělo být isomorfní \mathbb{R}, a to zase nedává smysl.

A vůbec. Nějak nechápu, kde se tam vezme to R, když ani to těleso, ani ten prostor nemusí mít s R nic společného.

podle me tam ma bejt T^{m \times n} ale nikde jsem ji nenasel :(

otazka je jestli se ji ma vubec cenu ucit :-D
peterblack
Matfyz(ák|ačka) level III
 
Příspěvky: 153
Registrován: 10. 12. 2006 19:26

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod el enfant » 29. 8. 2011 21:59

kaja píše:Pokud mám prostor V={0} a W={0}, tak ať jsou nad čímkoliv, tak mají dimenzi 1 v každém prostoru (báze je {0})
A vůbec. Nějak nechápu, kde se tam vezme to R, když ani to těleso, ani ten prostor nemusí mít s R nic společného.

Vektorový prostor V={0} má ale dimenzi 0, takže to pak již sedí.
Vzhledem k tomu, že se tam jedná o isomorfismus,tak tam může být celkem jakékoliv těleso, nebo ne? Ale určitě souhlas, že $\mathbb{T}^{m \times n}$ by sedělo lépe.
el enfant
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 38
Registrován: 31. 1. 2006 17:14
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod kaja » 29. 8. 2011 22:17

el enfant píše:
kaja píše:Pokud mám prostor V={0} a W={0}, tak ať jsou nad čímkoliv, tak mají dimenzi 1 v každém prostoru (báze je {0})
A vůbec. Nějak nechápu, kde se tam vezme to R, když ani to těleso, ani ten prostor nemusí mít s R nic společného.

Vektorový prostor V={0} má ale dimenzi 0, takže to pak již sedí.
Vzhledem k tomu, že se tam jedná o isomorfismus,tak tam může být celkem jakékoliv těleso, nebo ne? Ale určitě souhlas, že $\mathbb{T}^{m \times n}$ by sedělo lépe.


Jakto, že má dimenzi 0? Báze je velká 1 ({0}), tj má dimenzi 1, ne?
PONIES
Uživatelský avatar
kaja
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 99
Registrován: 20. 12. 2007 00:53
Bydliště: Miðgarðr
Typ studia: Informatika Bc.
Login do SIS: bilek7am

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod el enfant » 29. 8. 2011 22:25

kaja píše:Jakto, že má dimenzi 0? Báze je velká 1 ({0}), tj má dimenzi 1, ne?

Mám dojem, že 0 se nebere jako lineárně nezávislý vektor, rozhodně by neměl patřit do žádné báze. Asi to bude přímo z definice. Intuitivně by počátek (jediný bod) měl mít nižší dimenzi než přímka (reálná osa), když počátek je lineárním obalem 0 a osa lineárním obalem třeba (1,0).
el enfant
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 38
Registrován: 31. 1. 2006 17:14
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Otázky na státnicové materiály

Příspěvekod el enfant » 30. 8. 2011 07:40

Ještě k tomu isomorfismu, napsal jsem blbost, že by tam mohlo být jakékoliv těleso, nejspíš tam prostě vypadlo, že prostory U, V jsou taky nad tělesem T, jak psal peterblack. (Potažmo nad \mathbb{R} pro tu původní variantu).
Dle mého by mělo tvrzení znít nějak:
Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem T, \dim V = n a \dim W = m. Potom prostor L(V,W) je isomorfní prostoru T^{m \times n}.
el enfant
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 38
Registrován: 31. 1. 2006 17:14
Typ studia: Informatika Bc.


Zpět na Bakalářské SZZ

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 2 návštevníků

cron