1. Nechť
c je křivka v prostoru.
- (1b) Definujte Frenetovu bazi křivky c
- (1b) Definujte křivost a torzi křivky a napište znění Frenetovy věty.
- (2b) Dokažte Frenetovu větu.
2.
- (1b) Definujte Riemannovu metriku na horní polorovině tak, aby vznikl model hyperbolické geometrie.
- (2b) Ukažte, že podgrupa lineárních lomených transformací s reálnými koeficienty je podgrupa grupy všech isometrií H+.
- (2b) Odvoďte vzorec pro výpočet plochy trojůhelníka v hyperbolické geometrii.
3. Nechť S je parametricky zadaná regulární plocha v R
3 a s z S její bod.
- (2b) Definujte druhou fundamentální formu na tečném prostoru TsS. Definujte hlavní křivost plochy, Gaussovu a střední křivost.
- (2b) Napište vzorec, jak se vypočítá Gaussova křivost pomocí koeficientů první a druhé fundamentální formy plochy a dokažte ho.
- (2b) Vypočtěte Gaussovu křivost K pro rotační plochy.