Diferenciální geometrie křivek a ploch 22.5.2008

kvaterion

Diferenciální geometrie křivek a ploch 22.5.2008

Příspěvek od kvaterion »

Toto je varianta A z předtermínu diferenciální geometrie křivek a ploch

1) Parametrizujte křivku v prostoru a spočtěte její křivost

x^2+y^2+z^2=4 x^2+y^2=x jedná se o Vivianiho okénko

(*) V kterých bodech křivky je křivost maximální, respektive minimální.

byla nápověda, aby se použili sférické souřadnice, dá se to umlátit i přes válcové a vyjdou stejné rovnice, u osy z šel použít vzorec pro sin t/2, když se nepoužil derivovala se nepřijemná odmocnina a celkově dělala bordel v celým procesu výpočtu.

(*) Když si člověk udělá obrázek, tak postupně tipne 3 možné body a ukáže se, že největší je na polu a nejmenší v průsečíku na rovníku

2)Křivka v rovině {[x,y,z]eR^3 : y=0} je dána rovnicí z=x^(1/2)
Uvažujte plochu, která vznikne rotací dané křivky podél osy z, a spočtěte její první a druhou fundamentální formu, Gaussovu křivost a hlavní křivosti.

Když se udělá dobrá parametrizace, tak to vychází pěkně, když se udělá tupá x=u cos v, y=u sin v, z = u^(1/2), tak to taky vychází slušně. Fakt se jede jen přes definice a Gaussova křivost se spočte jako podíl determinantů.

3) Napište rovnice pro asymptotické křivky rotační plochy z příkladu 2) a najděte (nějaké) asymptotické křivky

stačí si jen napsat křivku c=(u,v) zderivovat a nacpat do vzorce, dobře se to násobí - matice je diagonální, a vyjde separovatelná soustava ODR. Opravdu easy a nejsou potřeba žádný extra znalosti z ODR.

Celkově: není to těžká zkouška, zadání se opakují, tak doporučuji proběhat starý písemky. Rataj u ústní je opravdu milí a dostat za 2 není nic těžkýho, ale o 1 se už bojuje. Dokazuje se nějaká věta apod. Doporučuji si nacvičit parametrizace, nevhodná parametrizace => nepřijemné počty; dost bazíruje na definicích - aspon u mě. Tak hodně štestí
o98asucd

Re: Diferenciální geometrie křivek a ploch 22.5.2008

Příspěvek od o98asucd »

Přidávám ještě variantu B:
(1) Parametrizujte křivku v prostoru a spočtěte její křivost:
x2+y2+z2=1, x2+y2=x.
(Nápověda: použijte sférické souřadnice.)
(2) Křivka v rovině {(x,y,z): y=0} je dána rovnicí z=log x. Uvažujte plochu, která vznikne rotací dané křivky podle osy z, a spočtěte její první a druhou fundamentální formu, Gaussovu křivost a hlavní křivosti.
(3) Napište rovnice pro asymptotické křivky rotační plochy z příkladu (2) a najděte nějaké asymptotické křivky.
Odpovědět

Zpět na „Ostatní“