Pickovy klíčové otázky
- Ondřej
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 15
- Registrován: 22. 12. 2006 11:52
- Typ studia: Informatika Bc.
- Bydliště: Hlavní město Praha
Pickovy klíčové otázky
Při procházení Pickových "klíčových otázek" jsem narazil na některé, u nichž si nejsem jist s odpovědi. Vzhledem k tomu, jak smrtící by mohl být případný omyl, se proto chci zeptat, jestli náhodou někdo neví s určitostí, jak se věci mají.
1) Může být v metrickém prostoru řídká množina nespočetná?
EDIT: Může; např. reálná přímka v R2 nebo Cantorovo diskontinuum v R.
2) Je množina všech po částech lineárních funkcí hustá v C([a, b])? A co množina všech lipschitzovských funkcí v C([a, b])?
3) Je jednotková koule v C([a, b]) množina 1. kategorie? A co množina všech diferencovatelných funkcí v C([a, b])?
4) Co můžeme říci o bodové konvergenci Fourierovy řady 2pí-periodické funkce f na R mající konečný Lebesgueův integrál na [0, 2pí]? A je-il f navíc spojitá, monotónní, s konečnou variací, třídy C1 na [0, 2pí]?
Předem dík!
1) Může být v metrickém prostoru řídká množina nespočetná?
EDIT: Může; např. reálná přímka v R2 nebo Cantorovo diskontinuum v R.
2) Je množina všech po částech lineárních funkcí hustá v C([a, b])? A co množina všech lipschitzovských funkcí v C([a, b])?
3) Je jednotková koule v C([a, b]) množina 1. kategorie? A co množina všech diferencovatelných funkcí v C([a, b])?
4) Co můžeme říci o bodové konvergenci Fourierovy řady 2pí-periodické funkce f na R mající konečný Lebesgueův integrál na [0, 2pí]? A je-il f navíc spojitá, monotónní, s konečnou variací, třídy C1 na [0, 2pí]?
Předem dík!
Don't drink and derive!
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 9
- Registrován: 25. 11. 2006 22:28
- Typ studia: Matematika Mgr.
Re: Pickovy klíčové otázky
bez záruky:
množina dif. fcí je 1. kategorie, viz 3. semestr a důkaz v kapitole "Metoda kategorií"
s konečnou variací konverguje podle Jordan-Dirichleta; monotónní tím pádem také; a třídy C1 konverguje z Diniho kritéria.
Ano, obojí plyne ze Stone-Weierstrassovy věty (měli jsme to jako nějakou poznámku).Ondřej píše: 2) Je množina všech po částech lineárních funkcí hustá v C([a, b])? A co množina všech lipschitzovských funkcí v C([a, b])?
o té jednotkové kouli si myslím, že není, ale bez záruky ... ale je to podle mě analogie intervalu (0,1) v ROndřej píše: 3) Je jednotková koule v C([a, b]) množina 1. kategorie? A co množina všech diferencovatelných funkcí v C([a, b])?
množina dif. fcí je 1. kategorie, viz 3. semestr a důkaz v kapitole "Metoda kategorií"
v prvních dvou případech nemůžeme říct nic (taky jsme to měli jako nějaké poznámky)Ondřej píše: 4) Co můžeme říci o bodové konvergenci Fourierovy řady 2pí-periodické funkce f na R mající konečný Lebesgueův integrál na [0, 2pí]? A je-il f navíc spojitá, monotónní, s konečnou variací, třídy C1 na [0, 2pí]?
s konečnou variací konverguje podle Jordan-Dirichleta; monotónní tím pádem také; a třídy C1 konverguje z Diniho kritéria.
Re: Pickovy klíčové otázky
Doplňuji záruku: C([a, b]) je úplný metrický prostor, tedy Bairův, tzn. každá neprázdná otevřená množina (včetně jednotkové koule) v něm je 2. kategorie.Soowa píše:o té jednotkové kouli si myslím, že není, ale bez záruky ...Ondřej píše: 3) Je jednotková koule v C([a, b]) množina 1. kategorie? A co množina všech diferencovatelných funkcí v C([a, b])?
Re: Pickovy klíčové otázky
Nema nahodou nekdo odpovedi na ty klicove otazky vypracovane? Resp. verim, ze to maji vsichni, ale neni nekdo ochotny to sem napsat? Koupim pivo nebo napoj dle vlastniho vyberu )
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 28
- Registrován: 28. 6. 2006 22:51
- Typ studia: Matematika Mgr.
- Kontaktovat uživatele:
Re: Pickovy klíčové otázky
Ahoj! Ak napises tvoj mail, tak ti ich poslem, mam to v pdf a nechce sa mi to sem prepisovatMedved_ píše:Nema nahodou nekdo odpovedi na ty klicove otazky vypracovane? Resp. verim, ze to maji vsichni, ale neni nekdo ochotny to sem napsat? Koupim pivo nebo napoj dle vlastniho vyberu )
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 6
- Registrován: 18. 6. 2008 17:13
- Typ studia: Matematika Bc.
- Login do SIS: marej1am
Re: Pickovy klíčové otázky
Ahoj, neposlal bys to i me? (jiri.mares@neit.cz) Rovnez bych se odmenil napojem dle vyberu
Predem moc diky
Predem moc diky
quark87 píše:Ahoj! Ak napises tvoj mail, tak ti ich poslem, mam to v pdf a nechce sa mi to sem prepisovatMedved_ píše:Nema nahodou nekdo odpovedi na ty klicove otazky vypracovane? Resp. verim, ze to maji vsichni, ale neni nekdo ochotny to sem napsat? Koupim pivo nebo napoj dle vlastniho vyberu )
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 28
- Registrován: 28. 6. 2006 22:51
- Typ studia: Matematika Mgr.
- Kontaktovat uživatele:
Re: Pickovy klíčové otázky
Jasne, nie je problem. Najneskor zajtra ti to poslem.
Re: Pickovy klíčové otázky
ahoj!
mohli by ste mi pls niekto poradit s touto otazkou? Je mnozina konstantnych funkcii v priestore C([a,b]) husta? Ja si myslim, ze nie, ale neviem to poriadne zdvovodnit. Ak by ste to niekto vedeli, tak napiste.
Dopredu dakujem!
mohli by ste mi pls niekto poradit s touto otazkou? Je mnozina konstantnych funkcii v priestore C([a,b]) husta? Ja si myslim, ze nie, ale neviem to poriadne zdvovodnit. Ak by ste to niekto vedeli, tak napiste.
Dopredu dakujem!
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 6
- Registrován: 2. 6. 2008 19:14
- Typ studia: Matematika Bc.
- Login do SIS: kubed5am
Re: Pickovy klíčové otázky
Jsou sice prazdniny, ale presto se pokusim zodpovedet tvou otazku. Konstantni funkce urcite nejsou hustou mnozinou, protoze kdyz si vezmes jakoukoliv nekonstantni fci z C([a,b]), tak ta musi mit nutne nenulovou vzdalenost od kazde konstantni fce (pokud se predpoklada obvykla supremova norma).