zkouška 23.5.2008
Napsal: 23. 5. 2008 18:35
1) Nechť T je komutativní těleso, f ∈T[x] je ireducibilní polynom, deg f > 1. Dokažte, že všechna kořenová nadtělesa f nad T jsou T-izomorfní. (8 bodů)
2) Nechť R je komutativní okruh. Dokažte, že R je noetherovský ⇔ každý ideál v R je konečně generovaný. (5 bodů)
3) Určete násobnost kořene x=1 polynomu f = x4 + x3 + x2 + x + 1 v T[x], kde T = GF(52). Je nutné zdůvodnit, proč postup funguje; použité věty však není nutno dokazovat. (5 bodů)
4) Dokažte, že multiplikativní grupa libovolného konečného komutativního tělesa je cyklická. (7 bodů)
5) Nechť T ⊆ K jsou komutativní tělesa, f, g ∈T[x] ⊆ K[x]. Dokažte, že NSD(f,g) v T[x] = NSD(f,g) v K[x]. (5 bodů)
Celkem 30 bodů, na jedničku 24, na dvojku 17, na trojku 10.
2) Nechť R je komutativní okruh. Dokažte, že R je noetherovský ⇔ každý ideál v R je konečně generovaný. (5 bodů)
3) Určete násobnost kořene x=1 polynomu f = x4 + x3 + x2 + x + 1 v T[x], kde T = GF(52). Je nutné zdůvodnit, proč postup funguje; použité věty však není nutno dokazovat. (5 bodů)
4) Dokažte, že multiplikativní grupa libovolného konečného komutativního tělesa je cyklická. (7 bodů)
5) Nechť T ⊆ K jsou komutativní tělesa, f, g ∈T[x] ⊆ K[x]. Dokažte, že NSD(f,g) v T[x] = NSD(f,g) v K[x]. (5 bodů)
Celkem 30 bodů, na jedničku 24, na dvojku 17, na trojku 10.