Zkouška 30. 5. 2012

Zkouška 30. 5. 2012

Příspěvekod zergling » 1. 6. 2012 22:09

Zadání nám nenechali, tak zkusím něco dát zpaměti:

Početní (90 min)
1. Adam a Bedřich si hází třemi mincemi. Pokud padne 3x rub nebo 3x líc, vyhrává Adam, pokud 2x rub a 1 líc Bedřich. Hody se opakují, dokud jeden z nich nevyhraje.
- spočtěte pravděpodobnost, že Adam vyhraje v prvním hodu
- spočtěte pravděpodobnost, že Adam vyhraje v k-tém hodu
- spočtěte pravděpodobnost, že Adam vyhraje
- spočtěte střední počet odehraných hodů, než někdo z nich vyhraje

2. Mějme nezávislé náhodné veličiny Xn stejně rozdělené s hustotou exp(-x) pro x>0. Definujme Yn = Xn + n.
- spočtěte pravděpodobnost, že nekonečněkrát nastane jev [Yn > 2n]
- spočtete pravděpodobnost, že nekonečněkrát nastane jev [Y1 > log(n)]
- dokažte, že posloupnost Yn splňuje slabý zákon velkých čísel
- dokažte, že Yn / n konverguje k 1 v pravděpodobnosti

3. Něco se slepicema v JZD. Klasika na dvouvýběrový problém z Poissonova rozdělení. Testujte hypotézu, zda se střední hodnoty dvou rozdělení liší.

4. Uvažujme výběr z rozdělení s hustotou f(x) = c x^2 pro x z intervalu (0,theta). c je vhodná konstanta.
Uvažujme bodové odhady th1 = c1 * [Xn s pruhem] a th2 = c2 * max(i=1..n) Xi
- určete konstanty c1 a c2 tak, aby th1 a th2 byly nestranné odhady theta
- dokažte, že th1 je konzistentní odhad theta
-* dokažte, že th2 je konzistentní odhad theta

Každý příklad je na 6 bodů a nutnou podmínkou pro absolvování početní části je 12 bodů. Příklady s hvězdičkou jsou body navíc.

Teorie (asi 75 min)
1.
- Bayesova věta a důkaz.
- Dokažte, že P(A | B) = P(A|B^c) implikuje nezávislost A a B.
- Definujte nezávislost systému jevů.

2. Formulujte SZVČ pro obecně nestejně rozdělené veličiny a Kolmogorovu nerovnost.
-* uveďte hlavní kroky důkazu SZVČ

3. Uveďte obecnou definici intervalového odhadu. Detailně popište konstrukci intervalového odhadu parametru p v binomickém rozdělení Bi(n,p). n je známé.

4. Zformulujte a dokažte Neymann-Pearsonovu větu a dokažte ji. Na jejím základě najděte kritický obor pro test parametru lamda exponenciálního rozdělení: H0: lamda = lamba0 ; H1: lambda = lambda1 (< lambda0).

Každý příklad je na 6 bodů a nutnou podmínkou pro absolvování teoretické části je 12 bodů. Příklady s hvězdičkou jsou body navíc.

Ústní část:
To bude asi dost individuální... Mě se Hušková ptala na regresní analýzu. Model, nestrannost odhadu beta1, jeho rozptyl a jak se odhadne sigma a další otázky.
zergling
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 4
Registrován: 23. 1. 2012 17:31
Typ studia: Matematika Bc.

Zpět na Pravděpodobnost a statistika

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník

cron