Zkouška 25.6.2008

Istien

Zkouška 25.6.2008

Příspěvek od Istien »

Příklady:
1) V sáčku se semínky je přimícháno N semínek jiné rostliny, přičemž víme, že P[N = i] = 0,1 pro i = 1, 2, ..., 10. Pravděpodobnost, že přimíchané semínko vyklíčí je p. Určete
a) rozdělení N, jestliže vyklíčilo 8 z přimíchaných semínek
b) pravděpodobnost, že N = 10, jestliže vyklíčilo 8 z přimíchaných semínek a p = 0,5.

2) Nechť X_1, X_2, ... je posloupnost nezávislých náhodných veličin takových, že P(X_n = 0) = 1 - n^-2 a P(X_n = n) = n^-2. Dokažte, že
a) X_n konverguje k nule v pravděpodbnosti
b) X_n (s pruhem) konverguje k nule skoro jistě

3) Uvažujte náhodný výběr o rozsahu n z geometrického rozdělení s parametrem p, tedy P[X = k] = p*(1 - p)^k pro k z {0, 1, 2, ...}.
Najděte maximálně věrohodný odhad parametru p. Je X_n (s pruhem) nestranným a konzistentním odahadem parametru théta = (1 - p)/p?

4) Ze 700 lidí uvedlo 112, že jsou leváci.
a) Určete 90% interval spolehlivosti pro podíl leváků v populaci.
b) Testujte na hladině 0,05 hypotézu, že podíl leváků v populaci je 15%.

Teorie:
1) Definice náhodné veličiny, příslušné distribuční funkce a Lebesgue-Stieltjesovy míry. Číselné charakteristiky náhodné veličiny (momenty, střední hodnota, rozptyl). Odvoďte vlastnosti distribuční funkce a střední hodnoty a rozptylu.

2) Zformulujte centrální limitní větu a odvoďte důsledek pro aproximaci distribuční funkce binomického rozdělení.

3) Úloha testování hypotéz - formulace úlohy, základní pojmy, Neymanova-Pearsonova věta a její použití v testování hypotéz.

4) Regrese procházející počátkem, t.j. regresní model, kde EY_i = beta_2 * x_i, i = 1,...,n. Zformulujte model včetně předpokladů, odhadněte parametr beta_2 a ověřte jeho nestrannost a spočtěte jeho rozptyl.
Odpovědět

Zpět na „Pravděpodobnost a statistika“