Zkouška 2.6.2008

Zkouška 2.6.2008

Příspěvekod Džasko » 2. 6. 2008 22:06

Příklady:
1) [6 bodů]
Hráči A a B střídavě házejí kostkou (začíná hráč A). Hra končí, jestliže
a) hráči A padne 1 (vyhraje hráč A)
b) hráči B padne 2 nebo 3 (vyhraje hráč B).
Spočítejte pravděpodobnost, že vyhraje hráč A, resp. B. Spočítejte střední hodnotu počtu bodů hráče A a hráče B.

2) [4 body]
Na server má přístup 10 uživatelů. Z dřívějších zkušeností víme, že uživatel má na serveru průměrně mí=120 MB dat, směrodatná odchylka množství dat je sgm=40 MB. Jak velký diskový prostor potřebujeme, aby s pravděpodobností 99% nedošlo k jeho zaplnění? (Užijte CLV)

3) [6 bodů]
Nechť náh. vel. X_1,...,X_n jsou stejně rozdělené nezávislé se střední hodnotou mí a nenulovým konečným rozptylem sgm2. Dokažte, že náhodná veličina Tn=(1/(2*(n-1)))*Sum(i=2,n,(Xi-Xi-1)2) je nestranným a konzistentním odhadem sgm2.

4) [4 body]
Máme podezření, že nás v hospodě okrádají. Proto koupíme 8 piv a změříme jejich objem v litrech. Tato data mají průměr 0,485 a rozptyl 0,000167. Prokazují naše data, že hostinský je nepoctivý? Zformulujte hypotézu a alternativu, doplňte předpoklady a testuje na hladině 0,05.

Teorie:
1) Borelova a Cantelliho věty. Zformulujte tvrzení a dokažte.
2) Definice náhodného vektoru, definice a vlastnosti příslušné distribuční funkce, definice a vlastnosti varianční matice.
3) Zformulujte CLV. Odvoďte její důsledek pro binomické rozdělení. Jaké je limitní rozdělení binomického rozdělení s parametry n a pn takové, že npn->lambda pro n->inf. Odpovědi zdůvodněte.
4) Zformulujte model regresní přímky, odvoďte odhady parametrů B1, B2 metodou nejmenších čtverců. Ukažte nestrannost a spočtěte rozptyl odhadu parametru B2.

Pár postřehů:
1) Základ jsou příklady, myslím, že je potřeba mít aspoň 10 bodů a to aspoň 5 z prvních dvou příkladů a 5 z druhých dvou.
2) Nezapomínejte uvádět správné předpoklady, jsou na to poměrně hákliví :)
3) Na příklady je 90 minut, na teorii 70 minut, mezitím asi 10 minut pauza.
4) Skončili jsme kolem 11. hodiny a ústní začínala ve 13:00. Celou dobu se hromadně čekalo na chodbě a Hušková si postupně zvala malé (1-3 lidi) skupinky lidí k sobě. Pak se k ní připojil ještě Hlubinka. Ústní část probíhala tak, že vám ukázali příklady a mezitím si četli teorii, když se jim něco nezdálo, tak se na to zeptali a většinou vám to dali dodělat na papír. Nebylo to nijak extrémně obtížné, šlo jen o doplnění věcí z písemky, takže pokud víte, že něco v teorii nemáte, naučte se to než jdete na ústní. Ústní u každého trvala 15-45 minut, poslední člověk šel po třetí hodině. Celkem nás bylo 12.
Džasko
 

Re: Zkouška 2.6.2008

Příspěvekod quark » 6. 6. 2008 18:53

Ahoj! Mohli by ste mi niekto, prosim, poradit ako na ten prvy priklad??? Ak niekto viete vysledky, mohli by ste ich sem pls dat?
A este k tomu tretiemu prikladu: naozaj to vyslo, ze je to nestranny a konzistentny odhad???
quark
 

Re: Zkouška 2.6.2008

Příspěvekod Džasko » 7. 6. 2008 23:06

Pravděpodobnost, že hráč A vyhraje v k-tém kole, je
P(Xa=k)=(1/6)*((5/6)*(2/3))k-1
protože musí hodit číslo 1, a předtím k-1 krát ani jeden z nich nevyhraje.

Vyjde to myslím 3/8 (sečte se to jako nekonečná geometrická řada), pravděpodobnost vítězství B je pak 5/8.

Pravděpodobnost, že A hodí právě k-krát, je
P(Ya=k)=(1/6 + (5/6)*(1/3))*((5/6)*(2/3))k-1
a sečte se řada pro výpočet střední hodnoty, tedy nekonečná řada k*P(Ya=k). Výsledek tohohle si ale už nepamatuju.

U toho třetího příkladu určitě vyjde nestranný, v konzistenci jsem měl chybu, ale řekl bych, že taky.
Džasko
 

Re: Zkouška 2.6.2008

Příspěvekod quark87 » 8. 6. 2008 08:46

Dakujem velmi pekne za odpoved!
quark87
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 28
Registrován: 28. 6. 2006 21:51
Typ studia: Matematika Mgr.


Zpět na Pravděpodobnost a statistika

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník