Dimenze

Dimenze

Příspěvekod andy1sek » 5. 3. 2006 15:35

Ahojík všem nevím si rady s příkladem
určete dimenzi podprostoru R4 generovaného vektory ve tvaru (a,b,c,0), kde b= a+c
a (a,b,c,d) kde a=b=c=d
a (a,b,c,d) kde d= a+b,c=a-b
andy1sek
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 4
Registrován: 5. 3. 2006 15:31

Re: Dimenze

Příspěvekod hippies » 5. 3. 2006 16:08

andy1sek píše:Ahojík všem nevím si rady s příkladem
určete dimenzi podprostoru R4 generovaného vektory ve tvaru (a,b,c,0), kde b= a+c
a (a,b,c,d) kde a=b=c=d
a (a,b,c,d) kde d= a+b,c=a-b

no tak je to minimálně 1 a max. 3, to je evidentní. No a pak už jen stačí ověřit, zda jsou lineárně závislé. Popiš ty vektory parametricky a hledej, jestli existují takové hodnoty parametrů, kdy jsou LNZ, pokud ano, máš příklad báze takového podprostoru.
Uživatelský avatar
hippies
Admin(ka) level I
 
Příspěvky: 990
Registrován: 29. 9. 2004 11:46
Bydliště: Mladá Boleslav
Typ studia: Informatika Mgr.
Login do SIS: procj4am

Help

Příspěvekod andy1sek » 6. 3. 2006 09:40

Ahojík, mohl by mi někdo něco napísat o homomorfismu?

mám řešit několik příkladů a nevím jak na to...

1) Zobrazení f: R3 - R4 je dáno vztahem f ((x1,x2,x3)) = (x1 +x2, x2+x3, x1+2x2 + x3, x1-x2)
Zjistěte zda f je homomorfismus, popř. najděte jeho jádro a obraz.

2) Pro homomorfismus f: R3 - R2 platí:
f ((1,2,0)) = (2,3), f((1,1,1)) = (0,1), f((-1,3,-1)) = (1,4)
Najděte Kerf, Imf a f((6,1,-7))

3) Označme P2 vektorový prostor polynomů stupně nejvíše 2. Necht f: P2 - P2 je homomorfismus, pro který platí:
f(1)=1 + x, f(x)= 3 - x na druhou, f(x na druhou)= 4 + 2x - 3x na druhou
Vypočtěte f (2 - 2x + 3x na druhou)
andy1sek
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 4
Registrován: 5. 3. 2006 15:31

Příspěvekod Martin » 25. 3. 2006 16:44

No teda teď zrovna nemám čas to dělat nějak podrobně. Ale řešení se dělá nějak takhle:
1) Musíš do toho vztahu dosadit vektory kanonické báze R3. Co ti z toho vypadne jsou nějaké vektory v R4. Obraz je jejich lineárním obalem. Ještě by se hodilo z nich vybrat bázi toho obalu, což už je trivka.
Dále - jádro jsou právě ty vektory, které ten homo. zobrazí na nulový vektor. No tak si prostě napíšeš matici toho homomorfismu a podíváš se na řešení příslušné homogenní soustavy rovnic.
Jo a ještě že je to homomorfismus v tomhle případě poznáš tak, že je to lineární zobrazení, to znamená, že parciální derivace každé složky podle libovolné proměnné je konstanta. V podstatě jde jen o to, že se ti tam nikde nesmí vyskytovat něco jako x1*x2, nebo třeba Sin(x1). Kdybys to zderivoval, třeba podle x1, tak ti v té složce zůstane x2, což není konstanta.
2) Je to stejné, akorát nemáš k dispozici ten luxus v podobě možnosti dosadit si vektory kanonické báze a získat tak matici vzhledem ke kanonickým bázím. Zde si akorát nesmíš poplést, co máš vlastně zadáno.
Z toho zadání, které jsi napsal není těžké sestavit následující matici:
2 0 1
3 1 4
Težší už je uvědomit si, k čemu je tahle matice dobrá. Když ji zprava vynásobíš nějkým vektorem z R3, dostaneš nějakou lineární kombinaci těch obrazů vektorů (1,2,0), (1,1,1), (-1,3,-1). Tedy máš-li souřadnice nějakého vektoru V z R3 vzhledem k této bázi v R3 (dovolil jsem si bez výpočtu předpokládat, že je to báze), tak pokud je zleva přenásobíš tou maticí, dostaneš obraz f(V) toho vektoru ale již vzhledem k bázi kanonické v R2! Je to snadné, stačí si to jenom pořádně rozmyslet. Pokud chceš tedy dostat matici f vzhledem ke kanonickým bázím, musíš tu matici ještě zprava přenásobit maticí, která nějakému vektoru v R3 přiřadí jeho souřadnice vzhledem k té bázi (1,2,0), (1,1,1), (-1,3,-1).
Když se nyní podíváš, co se stane, když maticí A=
1 1 -1
2 1 3
0 1 -1
zleva vynásobíš nějaký vektor v R3, zjistíš, že pouze dostaneš nějakou lineární kombinaci těch bázových vektorů - tedy máš-li souřadnice nějakého vektoru vzhledem k této bázi a vynásobíš-li je zleva tou maticí A, dostaneš souřadnice toho vektoru ke kanonické bázi. To není to, co jsi chtěl, ty naopak potřebuješ znát souřadnice vzhledem k této bázi nějakého vektoru zadaného ke kanonické. Takže tu matici 3*3 musíš nejdřív invertovat - dostaneš nějakou matici A^(-1). To můžeš udělat, protože vektory báze jsou LNZ, takže A je regulární.
Matice f vzhledem ke kanonickým bázím je potom ta první matice, kterou jsem napsal zprava přenásobená tou A^(-1).
Zbytek je stejný jako v minulém příkladě. Podle mě nemá smysl se učit nějakou kuchařku, protože tu velice rychle zase zapomeneš. Lepší je si neustále uvědomovat, co vlastně děláš, když ten a ten vektor násobíš tou a tou maticí.
"Endure. In enduring grow strong."
Uživatelský avatar
Martin
Supermatfyz(ák|ačka)
 
Příspěvky: 332
Registrován: 19. 2. 2005 20:23
Typ studia: Matematika Ph.D.

Příspěvekod Martin » 25. 3. 2006 16:48

A ještě k tomu příkladu 3) - Co takhle využít definici homomorfismu jako lineárního zobrazení? :lol:
"Endure. In enduring grow strong."
Uživatelský avatar
Martin
Supermatfyz(ák|ačka)
 
Příspěvky: 332
Registrován: 19. 2. 2005 20:23
Typ studia: Matematika Ph.D.

uz mam hotovo

Příspěvekod andy1sek » 26. 3. 2006 09:34

Dekuji, uz mam vse spocteno...
andy1sek
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 4
Registrován: 5. 3. 2006 15:31

Příspěvekod Martin » 26. 3. 2006 11:25

Jo teď koukám, že jsem přišel se zpožděním asi 20 dní, to jsem se na to moh rovnou vykašlat :D . Ale nakonec - kdyby ještě někdo jiný nevěděl, jak se to počítá, tak to třeba využije...
"Endure. In enduring grow strong."
Uživatelský avatar
Martin
Supermatfyz(ák|ačka)
 
Příspěvky: 332
Registrován: 19. 2. 2005 20:23
Typ studia: Matematika Ph.D.


Zpět na 2005

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník

cron