(1) Zjistete zda konverguje rada: Suma(2<sup>n</sup>*n!/n<sup>n</sup>)
(2) lim[x->+inf] (3<sup>x</sup>+8<sup>x</sup>)<sup>1/x</sup>
(3) prubeh fce: f(x) = (1+x<sup>2</sup>)*e<sup>1-x</sup>
- nejdete Df, extremy, monotonii, kovexnost/konkavnost, asymptoty, limity v krajnich bodech, graf
(4) Necht je fce f spojita a konvexni na <a,b> a maderivaci v kazdem bode <a,b> (v krajnich bodech jednostranne derivace). Plati-li f(a) = f(b) a f'<sub>+</sub>(a)=0, pak je fce f konstantni na <a,b>. Dokazte. (Muzete se odvolavat na vety a tvrzeni z prednasek.)
zkouska 8.02.06
- Myshaak
- Matfyz(ák|ačka) level III
- Příspěvky: 162
- Registrován: 18. 1. 2006 22:29
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: michp5am
Reseni
Nastin reseni (treba to nekdy nekomu pomuze :) ) :
(1) Normalne pres podilovy kriterium, pekne se to pokrati a vyjde a<sub>n+1</sub>/a<sub>n</sub> --> 2*( n/(n+1) )<sup>n</sup> , za chvilku clovek prijde na to ze se to = 2*e<sup>-1</sup>. To je <1 takze rada konverguje
(2) Lehky priklad (ale spousta lidi to nedala :o ) - prevedu na e<sup>1/x * ln(3^x + 8^x)</sup> a podle vety o lim sloz fce mi staci spocitat limitu toho exponentu. Na to pouziju oblibeneho l'Hospitala, vyjde: lim [x->+inf] ( 3<sup>x</sup> * ln3 + 8<sup>x</sup> * ln8)/(3<sup>x</sup> + 8<sup>x</sup>) = (vytknu prevladajici clen=8<sup>x</sup>) = (0 +1<sup>x</sup> * ln8)/(0 + 1<sup>x</sup>) = ln8 ----> dosadim do puvodniho vyrazu a dostanu e<sup>ln8</sup> = 8
(3) pekna fce, zadna abs. hodnota, Df=R, Hf=(0,+inf), klesajici v Df, v -inf jde do +inf a nema asymptotu, v ++inf jde k nule, !!pozor, v bode 1 sice vyjde f'(1)=0 ale NENI tam extrem, ale inflexni bod - fce zadny extrem nema!! konkavni na (1,3), jinde konvexni
(4) Netvrdim ze je to optimalni reseni, ale funguje (za 10b ;) ):
*f je konvexni => f' je neklesajici na (a,b)
*podle Rolleovy vety ex. c z (a,b) tz. f'(c)=0 (vsechny predpoklady vety jdou splneny)
*protoze f' je neklesajici (a spojita) a f'<sub>+</sub>(a)=0 tak musi platit ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,c)
*zbyva interval (c,b) - tam to udelam sporem: kdyby byl bod t, kde f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici by f' > 0 na celem int (t,b) -> to by ale znamenalo, ze na tomto intervalu je fce f rostouci a tudiz f(b) > f(a) coz je spor! => takze f'(x) = 0 pro vsechna x z (c,b)
*f' = 0 na (a,b) => f konstantni na (a,b) (tvrzeni z prednasky)
*a protoze f je spojita, tak bude <b>f konstantni na celem <a,b></b> (proste to v krajnich bodech nemuze ulitnout)
Z tech asi 26 lidi se nas k ustnimu dostalo asi 9 nebo 10. Dost velka umrtnost, ale stejne jsme se s kamarady shodli, ze bodovani je dost mirne, takze pokud clovek nema smulu mel by to dat! U ustniho je pan profesor opravdu hodny, nedava zaludnosti, ale rozhodne nepocitejte s tim, ze kdyz mate pisemku, tak uz zkousku mate v kapse, ze to s nim uz nejak skoulite. Zvlast pokud mate jen o malo vic nez 20b. tak se musite snazit. Ale jinak pan profesor pomaha - me treba napsal zaver dukazu, s kterym jsem nemohl hnout, ja mu to okdyval a nakonec jsem dostal tu lepsi znamku.
Na ustni jsem dostal def. lim. posloupnosti, lim. podposloupnpsti a vzajemny vztah mezi nima a Tayloruv polynom a aproximace fce Taylorovym polynomem (to je ta veta hned pod definici). Tayloruv polynom tam byl docela casto, tak se naucte aspon jeho definici!
Hodne stesti!!
(1) Normalne pres podilovy kriterium, pekne se to pokrati a vyjde a<sub>n+1</sub>/a<sub>n</sub> --> 2*( n/(n+1) )<sup>n</sup> , za chvilku clovek prijde na to ze se to = 2*e<sup>-1</sup>. To je <1 takze rada konverguje
(2) Lehky priklad (ale spousta lidi to nedala :o ) - prevedu na e<sup>1/x * ln(3^x + 8^x)</sup> a podle vety o lim sloz fce mi staci spocitat limitu toho exponentu. Na to pouziju oblibeneho l'Hospitala, vyjde: lim [x->+inf] ( 3<sup>x</sup> * ln3 + 8<sup>x</sup> * ln8)/(3<sup>x</sup> + 8<sup>x</sup>) = (vytknu prevladajici clen=8<sup>x</sup>) = (0 +1<sup>x</sup> * ln8)/(0 + 1<sup>x</sup>) = ln8 ----> dosadim do puvodniho vyrazu a dostanu e<sup>ln8</sup> = 8
(3) pekna fce, zadna abs. hodnota, Df=R, Hf=(0,+inf), klesajici v Df, v -inf jde do +inf a nema asymptotu, v ++inf jde k nule, !!pozor, v bode 1 sice vyjde f'(1)=0 ale NENI tam extrem, ale inflexni bod - fce zadny extrem nema!! konkavni na (1,3), jinde konvexni
(4) Netvrdim ze je to optimalni reseni, ale funguje (za 10b ;) ):
*f je konvexni => f' je neklesajici na (a,b)
*podle Rolleovy vety ex. c z (a,b) tz. f'(c)=0 (vsechny predpoklady vety jdou splneny)
*protoze f' je neklesajici (a spojita) a f'<sub>+</sub>(a)=0 tak musi platit ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,c)
*zbyva interval (c,b) - tam to udelam sporem: kdyby byl bod t, kde f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici by f' > 0 na celem int (t,b) -> to by ale znamenalo, ze na tomto intervalu je fce f rostouci a tudiz f(b) > f(a) coz je spor! => takze f'(x) = 0 pro vsechna x z (c,b)
*f' = 0 na (a,b) => f konstantni na (a,b) (tvrzeni z prednasky)
*a protoze f je spojita, tak bude <b>f konstantni na celem <a,b></b> (proste to v krajnich bodech nemuze ulitnout)
Z tech asi 26 lidi se nas k ustnimu dostalo asi 9 nebo 10. Dost velka umrtnost, ale stejne jsme se s kamarady shodli, ze bodovani je dost mirne, takze pokud clovek nema smulu mel by to dat! U ustniho je pan profesor opravdu hodny, nedava zaludnosti, ale rozhodne nepocitejte s tim, ze kdyz mate pisemku, tak uz zkousku mate v kapse, ze to s nim uz nejak skoulite. Zvlast pokud mate jen o malo vic nez 20b. tak se musite snazit. Ale jinak pan profesor pomaha - me treba napsal zaver dukazu, s kterym jsem nemohl hnout, ja mu to okdyval a nakonec jsem dostal tu lepsi znamku.
Na ustni jsem dostal def. lim. posloupnosti, lim. podposloupnpsti a vzajemny vztah mezi nima a Tayloruv polynom a aproximace fce Taylorovym polynomem (to je ta veta hned pod definici). Tayloruv polynom tam byl docela casto, tak se naucte aspon jeho definici!
Hodne stesti!!
"Go for the eyes Boo, go for the eyes! Yeahh!!"
zadani B:
1) urci jestli je konvergentni
suma n=1 az inf 3^n *n^5/n^(n/2)
(pohoda podilovy kriterium)
2) lim x->inf (5^x *6^x)^(1/x)
(reseni jako vyse)
3) prubeh
f(x)=(1-x^2)*e^(1-x)
(celkem v pohode, akorat imho slozitejsi na limity)
4) f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>
plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz
(moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)
1) urci jestli je konvergentni
suma n=1 az inf 3^n *n^5/n^(n/2)
(pohoda podilovy kriterium)
2) lim x->inf (5^x *6^x)^(1/x)
(reseni jako vyse)
3) prubeh
f(x)=(1-x^2)*e^(1-x)
(celkem v pohode, akorat imho slozitejsi na limity)
4) f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>
plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz
(moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)
- Myshaak
- Matfyz(ák|ačka) level III
- Příspěvky: 162
- Registrován: 18. 1. 2006 22:29
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: michp5am
Ja bych to delal podobne jako v nasem zadani:PeterBlack píše: 4) f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>
plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz
(moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)
1.krok: je konvexni => f' je neklesajici
2.krok: potrebuju ukazt ze f'(x) = 0 pro vsechna x z intervalu (a,b)
sporem: kdyby existoval bod t z (a,b) takovy, ze f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici bude pro vsechna y>t f'(y)>=f'(t)>0. No ale potom lim [x->b] f'(x) nemuze byt 0, coz je spor! Podobne kdyz bych uvazil nejaky bod, kde by f'<0 tak by nemohlo vyjit, ze f'<sub>+</sub>(a)=0. Takze posledni moznost je, ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,b)
3.krok: f'(x)=0 pro vsechna x z (a,b) => f je konstantni na (a,b) - no a protoze f je spojita, tak f je konstantni na <a,b>.
To by mohlo fungovat... ;))
"Go for the eyes Boo, go for the eyes! Yeahh!!"