Tak jsem byl (uspesne ) na zkousce a treba by vas zajimalo, co bylo v pisemce - takze varianta B:
1) limita posloupnosti:
lim(n*n - 1)^(1/odmocnina(n)), n jde k +nekonecno
2) limita funkce:
lim(tgx + cosx)^(1/x), x jde k nule
3) vysetrete prubeh funkce:
f(x) = x * ln(1/abs(x))
4) dokazte nebo vyvratte, ze pokud jsou funkce f a g konkavni, pak je i funkce "g slozeno f" konkavni
Prvni limita se prevedla pres Heineho na funkci a pak se pouzil myslim l'Hospital. Pak jsem si provedl zkousku a za n dosadil 10^100 a potvrdilo se mi, ze to opravdu konverguje k jednicce.
Ve druhem se to jen prevedlo na spolecny zlomek (staci jen pouzit tgx = sinx/cosx) a pak se pouzil l'Hospital. Musim rict, ze jsem si to asi petkrat nevericne kontroloval, jestli to opravdu pujde tak snadno. (Vysledek je e)
To ctvrte jsem naprosto nechapal jak na to, napsal jsem si definici konkavnosti a zjistil, ze pres to to asi nepujde. Pak jsem to zkusil pres druhe derivace, to k necemu vedlo, jenze co kdyz ta funkce nema druhou derivaci (no mozna se da dokazat, ze konkavni funkce druhou derivaci maji...)
Na ustnim jsem dostal axiom suprema a Lagrangeovu vetu, nebylo to zrovna to, co jsem chtel, ale nakonec to dopadlo paradne. Jo a zeptal se me jeste na Rolleovu vetu...
zkouska 18. 1.
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 20
- Registrován: 21. 1. 2006 02:23
- Typ studia: Informatika Bc.
- Kontaktovat uživatele:
zkouska 18. 1.
I can whistle with my fingers,
especially if I have a whistle.
especially if I have a whistle.
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 20
- Registrován: 21. 1. 2006 02:23
- Typ studia: Informatika Bc.
- Kontaktovat uživatele:
Jo, myslim, ze to bylo celkem lehky (ty prvni dve limity). Na druhou stranu Lagrangeova veta nebyla zrovna to, co bych chtel (to byly Taylorovy rady). U axiomu suprema to vypadalo, ze ideu dukazu, kterou nam na prednasce rikal, ani moc nechce...
Kdybych vedel, ze tam nebudou integraly, tak by asi bylo i mnohem lehci se to naucit.
Kdybych vedel, ze tam nebudou integraly, tak by asi bylo i mnohem lehci se to naucit.
I can whistle with my fingers,
especially if I have a whistle.
especially if I have a whistle.
- Martin
- Supermatfyz(ák|ačka)
- Příspěvky: 330
- Registrován: 19. 2. 2005 20:23
- Typ studia: Matematika Ph.D.
Jakou máte hodinovou dotaci MA? Já nechápu, jak jste mohli stihnout Taylora a ještě nejaký integrály. Zdá se mi, že je toho na jeden semestr trochu moc. Co všechno jste dělali?
BTW ta 4 vůbec neplatí. Je to snadné - třeba f(x)=sqrt(x), g(x)=-x^(3/2). Pak h = g(f) (tj. h(x)=-x^(3/4)) je ryze konvexní na [0,infty). Přitom f i g jsou konkávní. Ale podobné tvrzení může fungovat takhle: Nechť g je neklesající a konkávní na I, f je konkávní na J a f(J) je podmnožinou I. Pak g(f) je konkávní na J. Důkaz je trivka přímo z definice.
BTW ta 4 vůbec neplatí. Je to snadné - třeba f(x)=sqrt(x), g(x)=-x^(3/2). Pak h = g(f) (tj. h(x)=-x^(3/4)) je ryze konvexní na [0,infty). Přitom f i g jsou konkávní. Ale podobné tvrzení může fungovat takhle: Nechť g je neklesající a konkávní na I, f je konkávní na J a f(J) je podmnožinou I. Pak g(f) je konkávní na J. Důkaz je trivka přímo z definice.
"Endure. In enduring grow strong."
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 20
- Registrován: 21. 1. 2006 02:23
- Typ studia: Informatika Bc.
- Kontaktovat uživatele:
Mame 4 hodiny prednasek tydne + 2 hodiny seminar. Na konci semestru jsme meli z integralu: substituce, integrovani racionalnich funkci, Riemanna a Newtona a nejaky dukazy s Riemannovym integralem.Martin píše:Jakou máte hodinovou dotaci MA? Já nechápu, jak jste mohli stihnout Taylora a ještě nejaký integrály.
Vy matematici to ale urcite berete vic dopodrobna - predpokladam, ze jste treba brali řezy? Tak my jsme akorát zadefinovali R jako mnozinu trid ekvivalence na mnozine neprazdnych shora omezenych podmnozin Q a pak zobrazili Q -> R. Fyzici to berou jeste o neco rychlejs.
Njn, tak se měl vymyslet protipříklad. Když sem si napsal definici konkavnosti, tak sem si rikal, ze to platit nemusi, zkusil jsem vymyslet protipriklad, ale nepovedlo se, tak jsem se na to "strategicky" vykaslal, ze to pravdepodobne bude pravdive a pokracoval sem v dokazovani...BTW ta 4 vůbec neplatí.
I can whistle with my fingers,
especially if I have a whistle.
especially if I have a whistle.