Fórum studentů MFF UK

Posilam zadani z geometrie (doslova):

1) Spostete vyznacny Frenetuv reper sroubovice lezici na plasti valce x^2+y^2=a^2, kde a, b>0. Parametrizaci sroubovice znacte c a volte tak, aby c'(0)=(0,a,b). <I>(7b)</I>

2) Naleznete alespon jednu parametrizaci f regularni rotacni plochy vznikle rotaci regularni krivky c: u |-> (k(u), 0, h(u)) kolem osy z takovou, aby Gaussova krivost parametrizace f je konstantni rovna K=-1. Predpokladejte, ze podminky na funkce k, h, aby f i c byly regularni, jsou splneny. Jak lze ekvivalentne formulovat tyto podminky v terminech k a h? <I>(10b)</I>

3) Dokazte vetu: Necht c je regularni krivka v rovine. Potom jeji krivost je konstantni 1/r, kde r>0, prave kdyz tato krivka je casti kruznice o polomeru r. <I>(8b)</I>

Prvni priklad byl jednoduchej, treti byl dukaz z prednasky. Napisu jeste neco o druhym prikladu. Plocha f po rotaci vypada nasledovne: (k(u)cosv, k(u)sinv, h(u)). Vypocte se prvni a druha fundamentalni forma, podeli se determinanty a po dosazeni K=-1 vyjde diferencialni rovnice (k''h'-k'h'')h'=((k')^2+(h')^2)k.
Tady se mela pouzit napoveda z tabule, kde se rikalo polozit (k')^2+(h')^2=1 a pak tento vztah zderivovat. Uplne ale stacilo polozit to jedny a pak si to prepsat na rovnici h'h'k''-h'h''k'-k=0 a napsat, ze reseni bude tvaru k=a*e^(xu)+b*e^(yu), kde x, y jsou reseni fundamentalni rovnice.
K tomuto prikladu se Krysl vyjadril, ze obtiznost byla moc tezka, nakonec nam k puvodni hodine a pul pridal jeste pul hodiny, a ze priste uz bude davat lehci.

Bodovani bylo udelano tak, aby udelal kazdej:

1: 22-25
2: 16-22
3: 8-15

Za jedna meli pouze ctyri lidi (z dvaceti).

jeste dodam: ti, co meli tesne pod hranici na lepsi znamku (o bod o dva), mohli zkusit ustni zkouseni. krysl se ptal na jedno tema/jednu vetu a na lepsi znamku stacilo o tom proste neco napsat - na formality nehledel. na druhou stranu ptal se i na geodetiky (a nevedel, jak je ma zkouset, kdyz je jeste neodvykladal ). vsichni, co byli na ustnim, uspeli

sadda píše: Spostete ...
... x^2+y^2=a^2, kde a, b>0...

...aby Gaussova krivost parametrizace f je konstantni rovna K=-1....

určitě to je doslova?

nevim nevim ... myslim si ze zkousel jenom ty mezi 2-3, pac mezi rozhranim 1-2 byly dva body presne stred ... ale jiste to vedet nemuzu, pac jsem se na to neptal