Fórum studentů MFF UK

Ahoj, mam trochu problem s uplne posledni vetou ze Samalovy prednasky, totiz ze spojita f je na kompaktni mnozine omezena.

Nejak mi nejde do hlavy posledni krok dukazu, kde jenom ukazuje, ze f(y) = s. Muzete mi pls poradit, proc to plati? Diky moc... zkousel jsem hledat skripta, ale Klazar tam pouziva vety, co jsme si nedokazovali a navic je ten dukaz podezrele kratkej =) A Zantaar se k tomuhle dukazu ve svych vypiskach nedostal (i tak mu budiz provolavana slava )

Skúsim len v skratke ten dôkaz, aj s paralelou na zimu(ZS zimný semester, analogicky letný):

1. Vyberieš postupnosť bodov, ktorých zobrazenie cez f je stále bližšie a bližšie supremu funkčných hodnôt na intervale(ZS) na komp.množine(LS)
2. z nich vyberieš konvergentnú (taká existuje vďaka Bolzano-Weierstrass. (ZS), resp. z predpokladu že K je kompaktná a následne z definície kompaktnej množiny (LS) ) postupnosť s limitou, ktorú označme y.
3. takže viem, že lim yk = y , lim f(yk)=supremum(tak sme si tú postupnosť vyberali). (všetko pre k do nekonečna, k je dolný index).
(ZS) z Heineho vety plynie, že lim f(x) pre x ide ku y = supremum. A z def. spojitosti f(y)=supremum. konec
(LS)
Z predpokladu vety: f je spojitá (pozri definíciu), zvolis epsilon, najdes k0 index tak,že všetky yk s väčším indexom sú v guli B(y,delta), a teda abs. hodnota z f(yk)-f(y) < epsilon. (<<zatial len defincia spojitosti)
Teraz k tej implikacii: no keď všetky hodnoty f(yk) nebudú od f(y) ďalej ako o epsilon(ostro), tak ani ich limita nebude "niekde mimo"(ale v uz. intervale f(y) +- epsilon )(presne: z definície limity, tá čast že hodnoty sa líšia najviac o epsilon od limity), teda nanajvýš limita=f(y)+epsilon ,
my sme si chytre zvolili epsilon tak, že f(y) + epsilon bude menšie(v našom prípade nás zaujíma tento prípad, keď to je menšie, aj keď obecne tam bola abs. hodnota; ad menšie: konkrétne 2 krát menšie) ako supremum, teda limita je menšia ako f(y)+epsilon to celé ostro menšie ako supremum, ale pritom limita = supremum. čiže v podstate supremum<supremum, to je spor s tým že f(y)!=supremum.

Ešte možno k tomu výberu tej podpostupnosti, takže tú yk postupnost môžem vybrať z xk vďaka tej kompaktnosti, z vlastnosti konvergencie bude tá vybraná tiež konvergovať k y, a čo možno nevidno, aj tie funkčné hodnoty budú konvergovať k supremu, tak ako "predtým" hodnoty f(x).
takže z toho v tej 3 to že " viem ".

Diky, myslim, ze uz mi to je jasne