22. 6. 2018 - Klimošová

Pokračování kurzu matematické analýzy pro studenty prvního ročníku informatiky, které obsahuje Riemannův integrál, posloupnosti a řady funkcí (včetně mocninných a Fourierových řad), metrické prostory.

22. 6. 2018 - Klimošová

Příspěvekod NeverNotBluu » 22. 6. 2018 15:24

Délka zkoušky: 3h, Maximální počet bodů: 70
1)
a) (3b) Definujte vícerozměrný Riemannův integrál a horní a dolní Riemannovu sumu.
b) (5b) Pro které funkce platí s(f,P1) = S(f,P2) pro libovolná dělení P1 a P2 intervalu [a,b]? Pokud existují dělení P1 a P2 intervalu [a,b] splňující s(f,P1) = S(f, P2), co můžeme říct o integrovatelnosti funce? Zdůvodněte.
c) (5b) Definujte množinu míry nula na R. Uveďte příklad nekonečné podmnožiny reálných čísel s mírou nula a dokažte to o ní.
d) (4b) Platí, že sjednocení libovolně mnoha množin míry nula je množina míry nula? (Dokažte, nebo uveďte protipříklad)
e) (2b) Formulujte Lebesgueovo kritérium integrovatelnosti.
f) (4b) Spočtěte primitivní funkci k |x^2 - 6x + 8| + |x-2| na největších možných intervalech.

2)
a) (5b) Definujte totální diferenciál. Pro f(x,y) = xy spočtěte Df(x,y)(h1,h2) obvyklou metodou a výsledek poté ověřte podle definice.
b) (3b) Formulujte větu o implicitní funkci.
c) (4b) Nechť f:R2 -> R2 je funkce dvou proměnných diferencovatelná v bodě (0,0) a jsou zadány její směrové derivace v bodě (0,0) ve směrech u = (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) a v = (1/2, sqrt(3)/2): du(0,0) = 1/sqrt(2) a dv(0,0) = (2-sqrt(3))/2. Určete totální diferenciál Df(0,0).
d) (4b) Jsou dány funkce f(u,v) = (u2v2, 1/(uv)) a g(x,y) = lnx + lny. Spočtěte obě parciální derivace funkce h(u,v) = g(f(u,v)).
e) (7b) Formulujte a dokažte větu o rovnosti smíšených parciálních derivací druhého řádu.
f) (6b) Najděte globální extrémy funkce f(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 15x - 12y na čtverci [-3,3]x[-3,3] . Určete, zda existují lokální extrémy uvnitř čtverce a zda jsou to minima nebo maxima.

3)
a) (4b) Nechť f a g jsou stejnosměrně spojité funkce definované na celém R . Rozhodněte o funkcích f+g a f.g, zda musí být stejnosměrně spojité. Dokažte, nebo uveďte protipříklady.
b) (7b) Formulujte a dokažte větu o spojitosti a stejnoměrné spojitosti na kompaktním intervalu.
c) (4b) Nechť id:R -> R je identické zobrazení (tj. f(x) = x pro každé x z R), d1 je obvyklá metrika na R (d1(x,y) = |x-y|) a ddisc je diskrétní metrika na R (ddisc(x,y) = 1 pokud x != y a ddisc(x,y) = 0 pokud x = y). Je idspojité zobrazení z (R, d1) do (R, ddisc)? Je id spojité zobrazení z (R, ddisc) do (R, d1)? Odpovědi zdůvodněte.
d) (3b) Uveďte příklad spojitého zobrazení z topologického prostoru ({a,b,c}, T1) do topologického prostoru ({A,B,C}, T2), kde T1 = {{}, {a}, {a,b}, {a,b,c}} a T2 = 2{A,B,C} (tj. T2 je množina všech podmnožin {A,B,C}).
NeverNotBluu
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 5
Registrován: 4. 6. 2018 18:43
Typ studia: Informatika Bc.

Zpět na MAI055 Matematická analýza II

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník

cron