11.6.2012 Hladík

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
Danstahr
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 12
Registrován: 26. 1. 2012 18:50
Typ studia: Informatika Bc.

11.6.2012 Hladík

Příspěvek od Danstahr »

Varianta B
  1. Zformulujte algoritmus Gram-Schmidtovy ortogonalizace a dokažte jeho správnost
  2. Buď
    A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1\\3 & 1 & 1\\1 & 1 & 3\end {array}\right)
    • Najděte všechny invariantní směry (přímky) lineárního zobrazení x \mapsto Ax.
    • Spočítejte projekce vektoru v = (2, 4, 6) na všechny výše zmíněné přímky.
  3. Mějme kvadratickou formu f(x) = 2x_1^2 - 2x_1x_2 - 12x_1x_3 - 2x_2^2 - 8x_2x_3 - x_3^2. Najděte dvoudimenzionální podprostor V \Subset \mathbb{R}^3 takový, že f(x) > 0 pro každé nenulové x \in V.
  4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :
    • Existuje ortogonální matice obsahující řádky \left(\frac 1 2 , \frac 1 2, -\frac 1 2, \frac 1 2\right) a \left(\frac 1 2 , -\frac 1 2, \frac 1 2, \frac 1 2\right).
    • Pokud má matice A^2 reálné vlastní číslo \lambda \geq 0, pak A má vlastní číslo \sqrt \lambda.
    • Je-li A matice reálné kvadratické formy f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} vzhledem k bázi B, pak \alpha^2A je matice kvadratické formy f'(x) = \alpha f(x) vzhledem ke stejné bázi B.
    • Je-li A symetrická matice, pak i adj(A) je symetrická.
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“