Hladík - 23.5.2012 předtermín

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
Sipral

Hladík - 23.5.2012 předtermín

Příspěvek od Sipral »

Varianta A
1. Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu. (7)
Definujte dererminant. (1)

2. (a) Najděte matici projekce P do podprostoru $ V= span\{(1,2,2)^T,(-1,2,0)^T\} $. (2)
(b) Rozložte P na součin $ P=UU^T $ pro vhodnou matici U \in \mathbb{R}^{3 \times 2}. (4)

3. Buď
$$  A = \left (\begin{matrix} 3 &1  &2 \\  1 &4  &1 \\   2 &1  &3  \end{matrix}  \right ) $$.
(a) Najděte vlastní čísla $ \lambda _1,\lambda _2, \lambda_3 matice A. (2)
(b) Aplikujte větu o deflaci dominantního vlastního čísla. (2)
(c) Rozložte matici $ A=A_1 + A_2 + A_3 $ na součet tří matic hodnosti 1 tak,aby $\lambda_i $ bylo vlastním číslem $ A_i $. (2)

4. Rozhodněte a zdůvodněte,která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Jsou-li sloupce matice $ A \in \mathbb{R}^{m \times n } $ ortonormální vektory, potom $A^T A = I_n$. (2)
(b) Hodnost matice $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ je rovna počtu nenulových vlastních čísel A. (2)
(c) Buď A positivně definitní matice. Zvětšíme-li prvek a11, dostaneme opět positivně definitní matici. (2)
(d)Jsou-li $ b,c  : V \times V  \rightarrow \mathbb{R}$ dvě bilineární formy, pak b+c je také bilineární forma. (2)

4.c,d je ANO (možná později i napíšu odůvodnění )
Tak kdo máte co správně tak to napište .
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“