Hladík 15.6.2010

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
mrwep
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 19
Registrován: 13. 2. 2010 15:06
Typ studia: Informatika Bc.

Hladík 15.6.2010

Příspěvek od mrwep »

Oddělení B

1. Nad prostorem polynomů \matchcal{P}^2 uvažujme kvadratickou formu
f(p)=p(1)p(-1)-2p(1)^2-p(-1)^2.
(a) Najděte matici form vzhledem ke kanonické bázi x^2,x,1. (3 body)
(b) Rozhodněte zda f(p)\leq0 pro všechny polynomy p\in\matchal{P}^2. (3 body)

2. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 bodů)

3. Buď
A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}.
(a) Najděte positivně semidefinitní matici P takovou, že P^2=A. (5 bodů)
(b) Najděte matici R, která není positivně semidefinitní, ale přitom R^2=A. (1 bod)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Je-li A\in\mathbb{R}^{n\times n} a \mathrm{rank}(A)<n-1 pak \mathrm{adj}(A)=0. (2 body)
(b) Matice A má vlastní čísla 1,2,3,4,5
A=\begin{pmatrix}1&3&1&0&2\\3&5&0&1&1\\1&0&3&1&1\\0&1&1&3&2\\2&1&1&2&2\end{pmatrix} (2 body)
(c) Buďte A,B positivně definitní matice řádu n. Pak BAB^T je postitivně definitní matice. (2 body)
(d) Pro každou matici A platí A^T=A^\dagger AA^T. (2 body)

Doplňující otázka:
Permutace, znaménko permutace, věta o složení cyklu a transpozice.
maky
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 13
Registrován: 24. 1. 2010 15:25
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: Hladík 15.6.2010

Příspěvek od maky »

tak, oddělení A bylo téměř stejné, proto uvádím jen změny oproti B:

1) f(p) = 2p(0)p(1) - p(0)^2 - 2p(1)^2

3) A = 2, -1, 1
-1, 2, -1
1, -1, 2

4) a) Je-li A řádu n, rank(A) < n, pak adj(A) = 0.
b) trochu jinak zadaná matice, ale na diagonále stejné prvky.
c) Buď A poz. semidef. řádu n a matice B mxn. Pak BAB^T je poz. semidef. matice.
d) Pro každou matici A platí A^T = A^ AA^+

dneska fakt humus, co jsem viděla, tak většina byly 4, 5 (nevim jak po ústní...). tak ať máte lepší zadání:)
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“