Pangrác 22.6.2017

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
Speedding
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 35
Registrován: 10. 1. 2017 19:32
Typ studia: Informatika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Pangrác 22.6.2017

Příspěvek od Speedding »

1) Definice ortogonálního doplňku
2) Formulace a důkaz multiplikativnosti determinantu
3) Pro které g je následující matice pozitivně definitní?

\begin{pmatrix}g & 1 & 0 \\ 1 & g & 1 \\ 0 & 1 & g \end{pmatrix}

4) Matice A, B jsou si podobné právě tehdy, když mají stejná vlastní čísla

Řešení: 1) a 2) jasný
3) jsem dělal před subdeterminanty. Nejdřív determinant 1x1, pak 2x2, 3x3. Všechny musí být kladné. Řešení je tudíž průnik těchto tří množin. Tedy tuším g>\sqrt{2}
4) Tvrzení neplatí. Dopředná implikace platí, je ve skriptech. To jsem mu také napsal do písemky.
Zpětnou implikaci jsem nezvládl - asi právě kvůli tomu, že to neplatí :D Protipříklad je např jednotková matice, tedy vlastní čísla 1 a Jordanova matice pro jednotkovou matici. To mi ukázal Pangrác.

Celkem jsem měl z písemky 9 bodů z 10.

Zkoušel mě Klavík. Pangrác i Šejnoha zrovna někoho zkoušeli, tak jsem si řekl, že nejsem srab a hecnu to. Měl jsem strukturální diagram skalárního součinu. Popsal jsem i s důkazy 3,5 A3.

Zkouška u Klavíka je fakt pain, ale hodnotí mírně. Nejdřív jsme projeli základní definice, pak jsme se na 20 minut zasekli u Gram-Schmidta. Chtěl po mně, abych mu ukázal, jak to funguje geometricky. To jsem moc nedával.
Pak jsem mu tam napsal, že sin je kolmý na cos. Tak na to se ptal, proč to platí. Ptal se mě (ale asi ne v rámci zkoušení) na Fourierovu řadu, to jsem nějak dal a pak mi ukázal, že z druhé derivace sin (kx) podle x vyjde, že Ax=\lambda x. Nebo něco takového ukazoval, má to prý něco společného s lineárním zobrazením :D Že operátor druhá derivace podle x je reprezentuje tu lambdu. Nebo tak nějak. Bylo to celkem zajímavý, ale pro mě celkem nepochopitelný. Ještě tam něco říkal o významu komplexní exponenciely, a ačkoliv mě tahle témata opravdu zajímají, musel jsem na chvíli vypnout, jinak bych zbytek zkoušky nezvládl. Tak třeba se to dozvím v MA nebo LA III :D
Dále se mě ptal na projekci. Moc ho nezajímala ta věta, jako spíš odvození projekce v R2. Takový ten obrázek, jak má v jeho knížce z pokročilého cvika. To bylo celkem v poho. Chtěl prostě odvodit p = <x|y> / <y|y> * y
Pak jsem mu tam nakreslil fundamental theorem of linear algebra. Takovou práci jsem si s tím dal a on se na to skoro ani nekoukl :D
Ještě jsme řešili ortogonální matice. Chtěl nějaké vlastnosti. Pak chtěl nějaké příklady a já jen doufal, že si dělá srandu, protože jsem se na to ani nekoukl. Nakonec jsem si vzpomněl, že třeba Givensova matice reprezentuje rotaci. Došli jsme k tomu, že ortogonální matice zachovávají skalární součin i normu, protože se jedná o matice reflexe (zrcadlení) a rotace, čili se nijak nemění úhel.
Poslední věc, na kterou se mě ptal, byl vztah pozitivní definitnosti a skalárního součinu. Celkem to šlo.
Pak se ještě tak mimo ptal na QR a LU rozklad. Jelikož neumím ani jeden, řekl jsem mu jenom, co který rozklad znamená. U LU rozkladu jsem nevěděl, co značí ta dolní trojuhelníková matice.

Na metodu nejmenších čtverců, Cauchy-Schwarze nebo ortogonální doplněk jsme se vůbec nedostali, ačkoliv jsem to na těch papírech měl. Zkoušel mě skoro hodinu (!), a i přes to jsme to nestihli projít všechno - řekl bych, že sotva tak polovinu :D Byl jsem třetí, kdo se přihlásil na zkoušení (z 7 lidí) a odcházel jsem skoro poslední :D
Řekl, že toho na tom papíře mám celkem dost, a tak že dobrý. Ale celkem ho asi štvalo, že jsem mu pořádně neřekl, jak funguje G-S geometricky. Holt jsem na geometrii blbej :D

Ve výsledku 1. A to jsem si na konci ústní zkoušky myslel, že to bude sotva trojka.
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“