25. 6. 2015 - Šámal / Hladík

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
mmrmartin
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 19
Registrován: 3. 6. 2015 21:55
Typ studia: Informatika Bc.
Bydliště: Kajka / Jihlava

25. 6. 2015 - Šámal / Hladík

Příspěvek od mmrmartin »

Zadání B
  1. Vyslovte větu o rozvoji determinantu podle sloupce 2
    Zformulujte a dokažte větu o spektrálním rozkladu symetrických matic. 6
  2. Označme s_i(x,y,z) polynom reálných proměnných x, y, z ve tvaru a_ix + b_iy + c_iz. Rozhodněte, zda existují pro i=1,2,3 reálná čísla w_i,a_i, b_i, c_i taková, že platí:
    \sum\limits_{i=1}^3 w_is_i(x,y,z)^2 = 2xy + 2yz - 2zx.
    Zdůvodněte, a pokud existují, tak nějaká taková čísla nalezněte. 6
  3. Označme
    A = $$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r}2 & 3 & 2 & 0 \\ -1 & -2 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array} \right)$$
    Spočtěte A^{1001}. 6
  4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: Po 2 bodech
    1. Nechť existují vektory v_1 .... v_4 \in \mathbb{R}^2 takové, že A_{i,j} = <v_i,v_j>. Pak A je symetrická positivně semidefinitní matice z \mathbb{R}^{4\times4}
    2. Buď V vektorový prostor dimenze n a U jeho podprostor. Dále buď U^\perp ortogonální doplněk U. Nechť P je matice ortogonální projekce na U a Q matice ortogonální projekce na U^\perp. Pak platí P^2 -Q^2 = I_n
    3. Buď A matice z \mathbb{R}^{n \times n}. Pokud je \lambda kořen charakteristického polynomu p_A(\lambda) násobnosti alespoň k (kde k >=1 je přirozené číslo), pak matice A má k navzájem různých vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu \lambda \in \mathbb{R}
    4. Pro každou symetrickou matici A \in \mathbb{R}^{n \times n} platí det(2A) = 2 det(A).

Druhý příklad snad nikdo nespočítal, za 15 bodů byla jednička, za 12 dvojka a myslím za 9 trojka... dál si stupnici nepamatuji

Usní zkoušení probíhalo, jak u Šámala, tak i u Hladíka pomocí myšlenkové mapy jako na 18.6.2015 - Hladík
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“