5.6.2014 Hladík

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
regina
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 4. 6. 2014 12:36
Typ studia: Informatika Mgr.

5.6.2014 Hladík

Příspěvek od regina »

Skupina A:
1) Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti.

2) Najděte matici projekce na přímku $p=$span \{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \end{array} \right)^T \} při nestandartním skalárním součinu:
<x,y>^*=4$x${}_1$y${}_1-2$x${}_1$y${}_3+$x${}_2$y${}_2-2$x${}_3$y${}_1+5$x${}_3$y${}_3

3) Buď
$A=$ \left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\2 & 0 & 2 \\1 & 2 & 1 \end{array} \right)
a) Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A.
b) Rozhodněte zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $x=$( \begin{array}{ccc}3&-1&1 \end{array})^T

4)Rozhodněte a zdůvodněte:
a) Buď V podprostor $R^n a $u${}_1,...,$u${}_n jeho ortonormální báze. Pak matice projekce V má tvar $P=$ \sum\limits_{i=1}^m $u${}_i$u${}_i^T
b) Pro prostory U,V,W platí že V \subset W(doplněk) U(doplněk) \subset V, potom W \subset U
c) Jsou-li matice $A^{-1}, $B^{-1} podobné, pak si jsou matice A, B podobné.
d) Buď A positivně semidefinitivní matice řádu n. Přičteme-li ke keždému prvku A jedničku dostaneme positivně definitivní matici.
zhnujm

Re: 5.6.2014 Hladík

Příspěvek od zhnujm »

Skupina B:
1) Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci

2) Najděte matici projekce na přímku $p = span\{(3,2,1)^T\}$ při nestandardním skalárním součinu \langle x,y\rangle^* = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3

3)
A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{pmatrix}
a) Najděte vlastní čísla \lambda_1,\lambda_3,\lambda_3 a odpovídající vlastní vektory
b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor x = (3,1,1)^T

4) Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá
a) V podprostor \mathbb{R}^n, u_1, ..., u_m jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar P = \sum\limits_{i=1}^{m}u_iu_i^T
b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud U\subseteq V^\perp a V\subseteq W^\perp, tak W\subseteq U^\perp
c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i A^{-1},B^{-1} jsou podobné
d) Pro každé A, B \in\mathbb{R}^{n\times n} je matice A(A + B^T)(A^T + B)A^T positivně semidefinitní.
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“