Zkouška 29.-30.5.2007

Tritas
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 4
Registrován: 20. 6. 2006 05:01
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Zkouška 29.-30.5.2007

Příspěvek od Tritas »

Zadání písemky:

1) Zobrazení f_a je definováno na prostoru c_0 posloupností x=(x_n) reálných čísel předpisem f_a(x)=\suma_{n=1}^\inf (-1)^n*x_n/a^n. (takže suma od jedné do nekonečna z xn/an*(-1)^n ) pro a>0.
Rozhodněte v závislosti na hodnotě a:
(a) Zda f_a je omezený lineární funkcionál
(b) Zda nabývá f_a své normy na jednotkové kouli prostoru c_0.

(8 bodů)

2) Zobrazení T je definováno pro f náleží C([0,1]) předpisem (Tf)(x)=xf(0) + (sin x)f(1), x náleží [0,1].
(a) Dokažte, že T je omezený lineární funkcionál reálného Banachova prostoru C([0,1]) do sebe.
(b) Rozhodněte o kompaktnosti operátoru T.
(c) Vyšetřete spektrum a bodové spektrum operátoru T.

(8 bodů)

3) Nechť K je kompaktní operátor Banachova prostoru X na NLP Y (nad R). Rozhodněte, zda nutně platí implikace a=>b , b=>c , c=>a, kde
a) Y je Banachův.
b) K(B_X) je okolí nuly.
c) dim Y < nekonečno.
Své závěry dokažte. Pokud se odvoláte na nějaké věty z přednášky, napište jejich znění a přesně vysvětlete, jak jste je použili. Pokud tvrdíte, že nějaká implikace obecně neplatí, uveďte příklad.

(8 bodů)

Hodnocení: Nutnou podmínkou pro hodnocení dobře je alespoň 12 bodů, atd. 15 pro velmi dobře a 18 pro výborně.
-----
Na písemku jsme měli dvě hodiny (změna), šla stihnout v pohodě. Doc. Holický tam s námi byl celou dobu. Na konci při sbírání nás nechal dopsat myšlenku.
Tritas
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 4
Registrován: 20. 6. 2006 05:01
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Příspěvek od Tritas »

HODNOCENÍ PÍSEMKY:
Bylo hotovo 3 hodiny po odevzdání, takže opravovatelů asi bylo více. Byl kladen důraz na postup a formálně správný zápis, naopak na chyby při úpravách moc ne (měl jsem špatně výpočet spektra - kvůli přepisu při úpravě rovnice mi nevyšel sin 1 - ale postup byl v pořádku. Nestrhli mi za to snad ani bod - nevím to jistě, avšak měl jsem celkem 19 bodů a u 3. přikladu jsem měl napsáno 3. Což by znamenalo první dva příklady za plný počet.)
Je dobré se zeptat, co lze předpokládat a co se musí dokazovat. Já jsem ve 3. příkladu při b=>c dokázal, že pokud by to neplatilo, byla by nějaká množina obsahující kouli v nějakém nek. dim. prostoru relativně kompaktní. Dokazoval jsem pak, že koule nek. dimenze relativně kompaktní není - měl jsem tam někde chybu - a neuznali mi celou implikaci. Přitom toto se dalo považovat za známé, jak jsem pak zjistil. Něco podobného bylo při implikaci c=>a, kde jsem dokazoval taky něco, co jsem nemusel. Je možné, že by se body daly vybojovat (argument, že mám správně to, co vlastně stačilo mít, je myslím dost silný), ale radši jsem to nezkoušel.

ÚSTNÍ ZKOUŠKA
Zkoušeli doc. Holický, doc. Kalenda a Dr. Spurný. Čekali jsme na chodbě, odkud nás postupně brali. Měli dopředu rozděleno, kdo koho bude zkoušet, nevím však podle jakého klíče. Mě si zavolal Dr. Spurný, dal mi mou opravenou písemku a nechal mě vylosovat otázku. Každá měla dvě části - moje byla 1. Vnoření prostoru do svého druhého duálu + v podstatě znění a důkaz lemmatu 45 (viz stránky). 2.Znění a dk. věty 27 (stránky), mohl jsem si vybrat zda důkaz pro l^p nebo c_0.
Dostal jsem čas na přípravu, dostatečně dlouhý. Když jsem ještě neměl 2. část, vyzkoušel mě Dr. Spurný z první části. Vyžadoval přesnost formulací, ale byl milý a přátelský. Druhý důkaz mi trval déle, uprostřed toho, co jsem jej psal, si pročetl to, co už jsem měl a nasměroval mě správným směrem.
Nakonec se se mnou podíval na písemku a chtěl po mně implikace ve trojce, které jsem měl špatně. Když jsem je správně dokázal, dal mi jedničku, podal ruku a popřál hodně štěstí.
Celkově dojem ze zkoušky dobrý, jistě i díky tomu, že jsem to uměl, a přístupu Dr. Spurného.

CELKOVÉ VÝSLEDKY:
4-5 lidí zkoušku udělalo, 9-10 neudělalo, z toho 4 se nedostali ani k ústní části. Byly alespoň tři jedničky.
Odpovědět

Zpět na „Úvod do funcionální analýzy“