23.9.2011 - Simon: Teorie množin

Uživatelský avatar
Davpe
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 98
Registrován: 22. 9. 2010 16:07
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

23.9.2011 - Simon: Teorie množin

Příspěvek od Davpe »

Tak jsem se v prváku rozhodl zapsat si Temno, a abych se na to vůbec stihl naučit, tak jsem si to dal až v září (učil jsem se na to asi necelý měsíc, ale pořád jsem si moc nepřipadal, že bych to nějak bravurně uměl) a nebyl jsem na poslední přednášce, tak jsem se modlil, ať tam z ní nic nedá.
Průběh zkoušky je velice pohodový, pan profesor je strašně hodný a napovídá. Na začátek si se mnou povídal, jaký jsem obor, ze kterého města jsem a proč jsem si proboha v prváku zapisoval teorii množin.
Pak začalo zkoušení.
Prvně chtěl axiom potence, ten jsem mu zapsal s využitím podmnožiny, ale to se mu nelíbilo, tak jsem mu to přepsal to základního jazyka TM.
Pak se v souvislosti s ním zeptal na Cantorovu větu a její důkaz (obojí jsem díkybohu uměl).
Pak chtěl znát dokázat, že mohutnost reálných čísel je stejná jako mohutnost potence omegy. Dělalo se to pomocí dvou nerovností a pak se použil Cantor-Bernstain. Jednu nerovnost jsem vymyslel, tu druhou mi ukázal.
Pak se mě zeptal na mocnění kardinálů a jak bych spočetl (\kappa^+)^\lambda, tak jsem mu napsal Hausdorfovu formuli, chtěl ji i dokázat. Jednu implikaci jsem věděl celou, u druhé jen půlku, tu druhou mi napověděl.
Pak se mě zeptal na princip maximality, ten jsem mu řekl, on mě akorát opravil, že množina musí být neprázdná.
Pak formuloval Hausdorfův princip maximality a chtěl po mně dokázat, že je ekvivalentní tomu, který byl na přednášce. Tady jsem byl úplně mimo a napovídal mi tak dlouho, až kompletně celý důkaz řekl sám.
Pak se zeptal na Lemma o třech množinách, to jsem mu řekl naznačil (velice stručně a hopem) důkaz. Tak se mě zeptal, jestli bych to uměl dokázat i jinak. To jsem se hodně vyděsil, tak mi pak dal příklad. Mám funkci z celých čísel do celých čísel definouvanou jako f(n) = n+1 a chtěl najít ony tři množiny. Po chvilce přemýšlení mě napadlo udělat ty množiny modulo jako modulo 3 (tedy X1 = {3,6,9, ...}, X2 = {4,7,10 ...}, X3 = {5,8,11, ..}) což se mu líbilo ale ukázal mi, že to jde ještě jednodušeji. Stačí do jedné množiny dát sudá čísla, do druhé lichá čísla a třetí bude prázdná. A pak mi ve zbytku zkoušky ukázal nejpíš ten jiný důkaz toho Lemmátka, ale to jsem spíš taky jen koukal a přikyvoval.
Výsledek za jedna, což bych si rozhodně nedal zvlášť když si půlku zodpověděl v podstatě sám. Zkouška trvala tak 40 minut.
Každopádně pan profesor je nespočetně hodný a hodnotí velice mírně. Ale i takl to byl velice drsný předmět a zkouška taky nebyla nejlehčí a dost věcí z temna pořád nechápu (zvlášť když na přednášce zazněly i věci typu "No vy jste určitě všichni alespoň třeťáci, takže jsem určitě měli Lebesgův integrál ....").
Uživatelský avatar
beruskovova
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 11
Registrován: 18. 8. 2010 22:02
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: 23.9.2011 - Simon: Teorie množin

Příspěvek od beruskovova »

Z toho, že se na začátku ptal, zda jsem na matematice a nebo informatice a ve kterém ročníku, soudím, že tomu bylo dobře přizpůsobeno i hodnocení a v prvním ročníku tedy velice mírné.

Ohledně Lebesgueova integrálu musím říct, že jsem podnikla určitý průzkum a spousta třeťáků ba dokonce bakalářů odstátnicovala tímto integrálem neposkvrněna :wink: .

Byla jsem hodnocena za 2, za dejme tomu 4 dny učení, u zkoušky bez jediného kompletního důkazu, pokud mohu vůbec mluvit byť jen o náznaku důkazu.

Asi je dobrý nápad dělat temno v prváku. :-)
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 23.9.2011 - Simon: Teorie množin

Příspěvek od mathemage »

Nastoupil jsem k profesoru Simonovi těsně po kolegovi Davpem a mohu charakter jen potvrdit.
Po krátkém seznamování (jaký jsem ročník, proč jsem si Teori mnozin zapisoval v prváku -> protože mi to bylo staršími kolegy doporučeno jako skvělá příprava na Výrokovou a predikátovou logiku, u který správně uhádl, že ji vyučuje Mlček a že jsem tudíž informatik a nakonec jak se celkově TeMno líbilo) jsme se vydali na procházku po této krajině temna:)

0: axiom sumy + aplikace na vyřešení příkladu ((AC) & \kappa kardinál, množina o mohutnosti \kappa, každý její prvek má opět mohutnost \kappa -> co se dá říci o mohutnosti její sumy. Ta vyjde rovněž \kappa; soubor prvků této množiny lze zobrazit do \kappa \times \kappa, z tohoto kartézského součinu tedy existuje surjekce do sumy, díky (AC) je suma subvalentní \kappa \times \kappa; subvalence na opačnou stranu je triviální, díky Cantor-Bernsteinovi pak má suma stejnou mohutnost jako \kappa \times \kappa = \kappa

{0}: definice kardinalu, ordinalu, existuje nejake zobrazeni z ordinalu do kardinalu? (ano, fce aleph) + aplikace (zda (\exists\alpha\in O_n) \alpha = \aleph_\alpha -> ano, existuje (indukci):

\alpha_0 = \sup \{\aleph_\alpha: \alpha < \omega\} \\ \alpha_1 = \sup \{\aleph_\alpha: \alpha < \alpha_0\} \\ \alpha_2 = \sup \{\aleph_\alpha: \alpha < \alpha_1\} \\ \dots

Pak \alpha_\omega = \sup \{\alpha_n: n < \omega\} je hledaný prvek.

{0, {0}}: mocnění kardinálů (v závislosti na exponentu - viz skripta, kofinality & GCH)

{0, {0},{0, {0}}}: princip maximality (Zorn-Kuratowskiho znění), její ekvivalence s Hausdorffovým zněním + aplikace (lze PM aplikovat na <\mathbb{R}^2, S>, kde <x,y> S <a, b> \equiv \(x\le a \& y\le b\)? Ne, řetězec \{<x, 0> : x \in\mathbb{R}\} nemá horní mez:)

{0, {0},{0, {0}}, {0, {0},{0, {0}}}}: znění Presing down lemmatu/Fodorovi věty (tady mi řekl, že jelikož důkaz určitě znám, ostatně jako jsem věděl i všechno ostatní, tak ať mu dám index)

Ta "výborná" podepsáná prof. Simonem s v indexu vážně vyjímá, dovoluji si tvrdit, že se jedná o nejtěžší přípravu na nějakou zkoušky, ale samotná zkouška je neskutečně pohodová a příjemná (z těch cca. 4 prikladu na vymysleni jsem v podstate rekl spravne jen 1, a přesto jsem dostal, co jsem dostal:)

Krom praktické stránky zapsání tohoto předmětu v prváku (zřejmě mírnější hodnocení) přínáší Temno i výhody mnohem hlubší: člověk začne už v prváku na celou matematiku pohlížet úplně jinak, v jiném světle (když "vidí", jak jsou nejtriviálnější věci zcela netriviálně definovány) - je to asi stejný skok jako mezi středoškolskou a vysokoškolskou matikou:)
Carpe Diem!
Odpovědět

Zpět na „Ostatní“