Nové příklady na cvičení
Napsal: 31. 1. 2010 12:57
Oproti loňským letům díky lehké reorganizaci zmizelo pár příkladů řešených na cvičení a oproti tomu přibyla hromada jiných. Nemáte hinty jak na ně?
5. cvičení
1.Nechť máme k dispozici „černou skřínku“, která umí řešit rozhodovací verzi problému součtu podmnožiny v polynomiálním čase. Skřínka odpovídá pouze ANO-NE. Zkonstruujte algoritmus, který pro daný vstup optimalizační verze problému součtu podmnožiny najde v polynomiálním čase (vzhledem k délce binárního zápisu vstupních dat) optimální řešení.
2.Popište jak lze pro libovolné dané n zkonstruovat graf na n vrcholech takový, že aproximační algoritmus pro vrcholové pokrytí s poměrovou chybou r=2 (prezentovaný na přednášce) na tomto grafu vrací pokrytí právě dvakrát větší než je velikost optimálního vrcholového pokrytí (tj. ukažte, že dokázaný odhad poměrové chyby je těsný).
3.Navrhněte algoritmus, který v polynomiálním čase nalezne optimální vrcholové pokrytí pro neorientovaný graf bez cyklů (les, strom).
4.Bottleneck TSP: vstupem je úplný ohodnocený neorientovaný graf s nezápornými váhami na hranách (stejně jako u obyčejného TSP), o kterých navíc předpokládáme, že splňují trojúhelníkovou nerovnost. Úkolem je opět najít nejkratší Hamiltonovskou kružnici ve vstupním grafu, ovšem délka kružnice není v tomto případě rovna součtu délek hran na kružnici, ale maximu z délek hran na kružnici. Nejdříve dokažte, že Bottleneck TSP je NP-těžký a poté navrhněte polynomiální aproximační algoritmus s poměrovou chybou r=3.
5. cvičení
1.Nechť máme k dispozici „černou skřínku“, která umí řešit rozhodovací verzi problému součtu podmnožiny v polynomiálním čase. Skřínka odpovídá pouze ANO-NE. Zkonstruujte algoritmus, který pro daný vstup optimalizační verze problému součtu podmnožiny najde v polynomiálním čase (vzhledem k délce binárního zápisu vstupních dat) optimální řešení.
2.Popište jak lze pro libovolné dané n zkonstruovat graf na n vrcholech takový, že aproximační algoritmus pro vrcholové pokrytí s poměrovou chybou r=2 (prezentovaný na přednášce) na tomto grafu vrací pokrytí právě dvakrát větší než je velikost optimálního vrcholového pokrytí (tj. ukažte, že dokázaný odhad poměrové chyby je těsný).
3.Navrhněte algoritmus, který v polynomiálním čase nalezne optimální vrcholové pokrytí pro neorientovaný graf bez cyklů (les, strom).
4.Bottleneck TSP: vstupem je úplný ohodnocený neorientovaný graf s nezápornými váhami na hranách (stejně jako u obyčejného TSP), o kterých navíc předpokládáme, že splňují trojúhelníkovou nerovnost. Úkolem je opět najít nejkratší Hamiltonovskou kružnici ve vstupním grafu, ovšem délka kružnice není v tomto případě rovna součtu délek hran na kružnici, ale maximu z délek hran na kružnici. Nejdříve dokažte, že Bottleneck TSP je NP-těžký a poté navrhněte polynomiální aproximační algoritmus s poměrovou chybou r=3.