Skúška 20.9.2010

quark87
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 28
Registrován: 28. 6. 2006 22:51
Typ studia: Matematika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Skúška 20.9.2010

Příspěvek od quark87 »

1.Príklad: Rozhodnúť, či sú alebo nie sú zadané funkcie charakteristickými funkciami nejakých náhodných veličín a svoje tvrdenie zdôvodniť
(a)f_{1}(t)=\frac{2}{4-e^{-|t|}} + \frac{1}{4-cos(t)} [ÁNO]
(b)f_{2}(t)=\frac{cos(t)}{1+it^{2}} [NIE, imaginárna časť nie je lichá]
(c)f_{3}(t)=max\{e^{-t^{2}},cos(t^{2})\} [NIE, v 0 je C^{\infty}, ale nie všade na R]
(d)f_{4}(t)=exp\{-sin^{2}(t)\} [ÁNO]
(e)f_{5}(t)=\frac{1}{4} + \frac{1}{2}e^{-it -t^{2}} + \frac{1}{4}\frac{1}{1+t^2} [ÁNO]

2.Príklad: X_{n} nezávislé náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením so strednou hodnotou n^{3}
(a) Rozhodnite, či je nasledujúci rad sčítateľný s.j.
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{X_{n}^{2}}{n^{8}}
(b) Rozhodnite, či uvedená postupnosť konverguje s.j. Ak áno, spočítajte príslušnú limitu.
Y_{n}=\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}\frac{X_{k}^{2}}{k^{4}}
(c) Rozhodnite, či uvedená postupnosť konverguje v distribúcii. Ak áno, spočítajte príslušné limitné rozdelenie
Z_{n}=\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}\sum_{k=1}^{n}\frac{X_{k}^{2} - EX_{k}^{2}}{k^{4}}

3.Príklad: Reálne náhodné veličiny X, Y sú nezávislé a obe majú rovnomerné rozdelenie na intervale (0,1). Spočítajte
(a) E \left[(X+Y)^{2}|X-Y \right]
(b) E\left[(X+Y)^{2}| |X-Y| \right]

Maximum bolo 30 bodov, na prejdenie na ústnu časť stačilo 15,5 bodu. Na ústnej som dostal Feller-Lindebergovu CLV a vzťah konvergencie v \textrm{L}_{p} a v pravdepodobnosti, obe samozrejme aj s dôkazmi :) Času na vypracovanie dostanete toľko, koľko potrebujete.
Odpovědět

Zpět na „Teorie pravděpodobnosti“