Zkouška leden 09

Thomyy
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 9
Registrován: 23. 12. 2006 22:41
Typ studia: Matematika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Zkouška leden 09

Příspěvek od Thomyy »

Tak tady mám další zadání:
1. (a) Nechť X_n jsou nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením se střední hodnotou n^2. Rozhodněte, pro jaká a>0 je následující řada sčitatelná v L^2: sum_{k=1}^{nekonečno} k^{-a} X_k
(b) Nechť X_n jsou nezávislé náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na intervalu (-n,n). Ukažte, že normovaný součet
9/n^3 sum_{k=1}^{n} X_k(1-X_k) konverguje skoro jistě a zjistěte jeho limitu. (vtipná nápověda, ale spousta lidí stejně nevěděla, co tím chtěl říct, byla, že x(1-x) = x-x^2)

2. Rozhodněte o následujícíh funkcích, zda jsou nebo nejsou charakteristickými funkcemi nějakých reálných náhodných veličin:
f_1(x)=cos(x^{1/3}) [NE], f_2(x)=min{ e^{-x^2}, e^{-|x|} } - zde se prý spletl, mělo tam bejt maximum, ale to nám řekl až po písemce [nejspíš ANO], f_3(x)=exp{sin(x) - (x^4)/4 } [NE], f_4(x)=exp{ix-1+e^{-ix-|x|-x^2} } [ANO], f_5=(1-sin^2(x))/(2-cos(x)) [ANO].

3. (a) Nechť X,Y jsou nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1. Určete podmíněné rozdělení X za podmínky |X-Y| a spočtěte E[ X | |X-Y|].
(b) Reálné náhodní veličiny X,Y jsou nezávislé, X má rovnoměrné rozdělení na [0,1] a Y má Poissonovo rozdělení s parametrem 1. Spočtěte E[ |X-Y| | Y/(1+|Y|)]

Jinak kdo chodí na cvičení k Dostálovi, neměl problém, protože on to opravuje a vše se probírá i na cvičení.
U ústní pak Beneš zadává postupně asi tak 3 problémy a máte napsat, co nejvíc víte. Já jsem dostal zákony velkých čísel, pak už nevím a nakonec jsem dostal podmíněnou Jensenovu nerovnost (kdybych ji dokázal, mám za 1, ale bohužel jsem se ji neučil)
Veni, vidi, a někdy možná vici :-P
Odpovědět

Zpět na „Teorie pravděpodobnosti“