Skúška 31.1.2012

quark87
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 28
Registrován: 28. 6. 2006 21:51
Typ studia: Matematika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Skúška 31.1.2012

Příspěvek od quark87 »

Príklad 1: Nech \mathrm{C}\subset \mathrm{R}^{n} je uzavretá a konvexná, \mathrm{R}^{n}\setminus \mathrm{C} je konvexná. Dokážte, že potom buď \mathrm{C} je prázdna množina alebo uzavretý priestor alebo celý priestor \mathrm{R}^{n}.


Príklad 2: Určiť duálnu úlohu k úlohe LP
\begin{align} \textrm{min} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}i^2x_{ij} 
otag \\
\textrm{za podmienok} \quad  \sum_{j=1}^{m} x_{ij} \leq \textrm{b}_{i}, \quad  \forall i=1,...,n 
otag \\
\sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} x_{ij}= 1 
otag \\
x_{ij} \geq 0,\quad i=1,...,n,\quad j=1,...,m 
otag \\ 
\textrm{parametre spĺňajú} \quad \sum_{i=1}^{n} b_{i} \geq 1,\quad b_{i} \geq 0,\quad \forall i=1,...,n 
otag
\end{align}


Príklad 3: Uvažujme maticovú hru s výplatnou maticou


\left( {\begin{array}{ccc}
 1 & 1 & 0 \\
 4 & 5 & 0 \\
 1 & 0 & 2 \\
 0 & 4 & -1  \end{array} } \right)


Určite cenu tejto hry a optimálne stratégie oboch hráčov.


Príklad 4: Vyriešením (LPO) nájsť optimálne riešenie úlohy
\begin{align} 
\textrm{min} \quad x+y 
otag \\
\textrm{za podmienok} \quad  \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \leq \frac{1}{a^{2}} 
otag \\
x \geq \epsilon, \quad x \geq \epsilon, \quad > 0, \quad \epsilon > 0 
otag \end{align}


"Návod" k riešeniu:
1. Nezabudnúť prediskutovať prípady, keď je C prázdna alebo celý prostor, inak môžeme obe množiny neostro oddeliť.
2. Štandartný príklad, do duálnej úlohy nepísať omezenia na parametre, nemá to zmysel.
3. \hat{x}=\left(0,\frac{2}{7},\frac{5}{7},0\right)^{T},\quad \hat{y}=\left(0,\frac{2}{7},\frac{5}{7}\right)^{T},\quad v=\frac{10}{7}
4. Učelová funkcia je lineárna, množina prípustných riešení je konvexná, teda vyriešením LPO dostane optimálne riešenie úlohy. Pri riešení treba diskutovať vzťah \epsilon a \sqrt{2}a, z toho dostaneme optimálne riešenie.

PS: Ak by niekto vedel, ako odstrániť to <br/>, tak mi, prosím, napíšte :)
Odpovědět

Zpět na „Optimalizace“