Množina všech polynomů - otázka

Množina všech polynomů - otázka

Příspěvekod Soowa » 21. 1. 2008 12:44

Ahoj, chtěl bych se zeptat, jestli někdo, prosím, neví odpověď na jednu Pickových "klíčových otázek" - je množina všech polynomů v C[0,1],sup otevřená? Vím že je hustá, tudíž není uzavřená, tudíž není kompaktní, ale jak je to s otevřeností netuším...
Soowa
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 9
Registrován: 25. 11. 2006 22:28
Typ studia: Matematika Mgr.

Re: Množina všech polynomů - otázka

Příspěvekod Ondřej » 21. 1. 2008 20:35

Řekl bych, že není otevřená...

Když si vezmeš libovolný polynom a libovolné epsilon, určitě najdeš spojitou funkci, která není polynomem, avšak v supremu se od daného polynomu nevzdálí o dané epsilon. Tedy pro každý polynom platí, že kolem něj (v prostoru spojitých funkcí) neexistuje epsilonová "kulička" tvořená pouze polynomy.

Ale jistý si tím nejsem :(

Když už jsme u Pickových klíčových otázek - taky mám pár "mezer ve vzdělání", např.:

Může být otevřená množina spočetná?
Může být otevřená množina nespočetná?

(mám své tipy na odpověď, ale byl bych radši, kdyby mi je někdo potvrdil nebo dokonce podložil pádnými argumenty)
Don't drink and derive!
Uživatelský avatar
Ondřej
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 15
Registrován: 22. 12. 2006 11:52
Bydliště: Hlavní město Praha

Re: Množina všech polynomů - otázka

Příspěvekod David_ » 21. 1. 2008 23:28

Je množina všech polynomů v (C[0,1], sup) otevřená?

Nikoli. Vezměme třeba konstantní nulovou funkci y=0 (nejhezčí to polynom) a libovolné ε. Pak pila s amplitudou ε/2 jdoucí podél osy x spadne do B(y=0, ε), ale přitom to není polynom (třebas proto, že není v C1).

Může být otevřená množina spočetná?

Pokud je myšleno nejvýše spočetná (tak analýzníci tohle slovo zpravidla používají), pak samozřejmě — taková prázdná množina je vždycky otevřená. Pokud je myšleno právě spočetná (tj. s mohutností \aleph_0), pak taky — celý nosič libovolného spočetného metrického prostoru tvoří otevřenou množinu. V takovém (Rn, eukl) už to ale nejde (na to se ale nikdo neptal).

Může být otevřená množina nespočetná?

Jasně, jakýkoli otevřený interval v (R, eukl) je otevřený a nespočetný.
David_
 

Re: Množina všech polynomů - otázka

Příspěvekod hippies » 21. 1. 2008 23:49

Jestli si jeste dobre pamatuju definici otevrene mnoziny (a tato se shoduje s vasi:D), tak ano,ano.

EDIT: aa, koukam prisels na jeste patologictejsi pripady nez ja:) .. ja si myslel na diskretni prostory
Chjo, dovede te si představit svět, kde by byla každá harmonická diferenciální forma (jistého typu) nesingulární projektivní algebraické variety racionální kombinací kohomologických tříd algebraických cyklů..
Uživatelský avatar
hippies
Admin(ka) level I
 
Příspěvky: 990
Registrován: 29. 9. 2004 11:46
Bydliště: Mladá Boleslav
Typ studia: Informatika Mgr.
Login do SIS: procj4am


Zpět na Matematická analýza 2a

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník

cron