Stránka 1 z 1

Množina všech polynomů - otázka

Napsal: 21. 1. 2008 12:44
od Soowa
Ahoj, chtěl bych se zeptat, jestli někdo, prosím, neví odpověď na jednu Pickových "klíčových otázek" - je množina všech polynomů v C[0,1],sup otevřená? Vím že je hustá, tudíž není uzavřená, tudíž není kompaktní, ale jak je to s otevřeností netuším...

Re: Množina všech polynomů - otázka

Napsal: 21. 1. 2008 20:35
od Ondřej
Řekl bych, že není otevřená...

Když si vezmeš libovolný polynom a libovolné epsilon, určitě najdeš spojitou funkci, která není polynomem, avšak v supremu se od daného polynomu nevzdálí o dané epsilon. Tedy pro každý polynom platí, že kolem něj (v prostoru spojitých funkcí) neexistuje epsilonová "kulička" tvořená pouze polynomy.

Ale jistý si tím nejsem :(

Když už jsme u Pickových klíčových otázek - taky mám pár "mezer ve vzdělání", např.:

Může být otevřená množina spočetná?
Může být otevřená množina nespočetná?

(mám své tipy na odpověď, ale byl bych radši, kdyby mi je někdo potvrdil nebo dokonce podložil pádnými argumenty)

Re: Množina všech polynomů - otázka

Napsal: 21. 1. 2008 23:28
od David_
Je množina všech polynomů v (C[0,1], sup) otevřená?
Nikoli. Vezměme třeba konstantní nulovou funkci y=0 (nejhezčí to polynom) a libovolné ε. Pak pila s amplitudou ε/2 jdoucí podél osy x spadne do B(y=0, ε), ale přitom to není polynom (třebas proto, že není v C1).
Může být otevřená množina spočetná?
Pokud je myšleno nejvýše spočetná (tak analýzníci tohle slovo zpravidla používají), pak samozřejmě — taková prázdná množina je vždycky otevřená. Pokud je myšleno právě spočetná (tj. s mohutností \aleph_0), pak taky — celý nosič libovolného spočetného metrického prostoru tvoří otevřenou množinu. V takovém (Rn, eukl) už to ale nejde (na to se ale nikdo neptal).
Může být otevřená množina nespočetná?
Jasně, jakýkoli otevřený interval v (R, eukl) je otevřený a nespočetný.

Re: Množina všech polynomů - otázka

Napsal: 21. 1. 2008 23:49
od hippies
Jestli si jeste dobre pamatuju definici otevrene mnoziny (a tato se shoduje s vasi:D), tak ano,ano.

EDIT: aa, koukam prisels na jeste patologictejsi pripady nez ja:) .. ja si myslel na diskretni prostory