Množina všech polynomů - otázka
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 9
- Registrován: 25. 11. 2006 22:28
- Typ studia: Matematika Mgr.
Množina všech polynomů - otázka
Ahoj, chtěl bych se zeptat, jestli někdo, prosím, neví odpověď na jednu Pickových "klíčových otázek" - je množina všech polynomů v C[0,1],sup otevřená? Vím že je hustá, tudíž není uzavřená, tudíž není kompaktní, ale jak je to s otevřeností netuším...
- Ondřej
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 15
- Registrován: 22. 12. 2006 11:52
- Typ studia: Informatika Bc.
- Bydliště: Hlavní město Praha
Re: Množina všech polynomů - otázka
Řekl bych, že není otevřená...
Když si vezmeš libovolný polynom a libovolné epsilon, určitě najdeš spojitou funkci, která není polynomem, avšak v supremu se od daného polynomu nevzdálí o dané epsilon. Tedy pro každý polynom platí, že kolem něj (v prostoru spojitých funkcí) neexistuje epsilonová "kulička" tvořená pouze polynomy.
Ale jistý si tím nejsem
Když už jsme u Pickových klíčových otázek - taky mám pár "mezer ve vzdělání", např.:
Může být otevřená množina spočetná?
Může být otevřená množina nespočetná?
(mám své tipy na odpověď, ale byl bych radši, kdyby mi je někdo potvrdil nebo dokonce podložil pádnými argumenty)
Když si vezmeš libovolný polynom a libovolné epsilon, určitě najdeš spojitou funkci, která není polynomem, avšak v supremu se od daného polynomu nevzdálí o dané epsilon. Tedy pro každý polynom platí, že kolem něj (v prostoru spojitých funkcí) neexistuje epsilonová "kulička" tvořená pouze polynomy.
Ale jistý si tím nejsem
Když už jsme u Pickových klíčových otázek - taky mám pár "mezer ve vzdělání", např.:
Může být otevřená množina spočetná?
Může být otevřená množina nespočetná?
(mám své tipy na odpověď, ale byl bych radši, kdyby mi je někdo potvrdil nebo dokonce podložil pádnými argumenty)
Don't drink and derive!
Re: Množina všech polynomů - otázka
Nikoli. Vezměme třeba konstantní nulovou funkci y=0 (nejhezčí to polynom) a libovolné ε. Pak pila s amplitudou ε/2 jdoucí podél osy x spadne do B(y=0, ε), ale přitom to není polynom (třebas proto, že není v C1).Je množina všech polynomů v (C[0,1], sup) otevřená?
Pokud je myšleno nejvýše spočetná (tak analýzníci tohle slovo zpravidla používají), pak samozřejmě — taková prázdná množina je vždycky otevřená. Pokud je myšleno právě spočetná (tj. s mohutností \aleph_0), pak taky — celý nosič libovolného spočetného metrického prostoru tvoří otevřenou množinu. V takovém (Rn, eukl) už to ale nejde (na to se ale nikdo neptal).Může být otevřená množina spočetná?
Jasně, jakýkoli otevřený interval v (R, eukl) je otevřený a nespočetný.Může být otevřená množina nespočetná?
- hippies
- Admin(ka) level I
- Příspěvky: 990
- Registrován: 29. 9. 2004 12:46
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: procj4am
- Bydliště: Mladá Boleslav
- Kontaktovat uživatele:
Re: Množina všech polynomů - otázka
Jestli si jeste dobre pamatuju definici otevrene mnoziny (a tato se shoduje s vasi:D), tak ano,ano.
EDIT: aa, koukam prisels na jeste patologictejsi pripady nez ja:) .. ja si myslel na diskretni prostory
EDIT: aa, koukam prisels na jeste patologictejsi pripady nez ja:) .. ja si myslel na diskretni prostory
Chjo, dovede te si představit svět, kde by byla každá harmonická diferenciální forma (jistého typu) nesingulární projektivní algebraické variety racionální kombinací kohomologických tříd algebraických cyklů..