Zkouška 1. 2. 2011

Drekin

Zkouška 1. 2. 2011

Příspěvek od Drekin »

Zadání:
1) G grupa konečného řádu n, g e G, g^m = e, 1 <= m <= n, m nejmenší takové. Dokažte, že m dělí n.
2) G grupa konečného řádu, akce G na sobě vnitřními automorfismy, D prvky G s alepoň dvouprvkovými orbitami. Dokažte |D| = ([G : Z(G)] - 1) * |Z(G)|.
3) G graf (quiver) s konečně mnoha vrcholy a hranami, K komutativní těleso, <KG> algebra cest, I podprostor generovaný cestami délky alespoň m. Ukažte, že I je oboustranný ideál v <KG>.
4) G grupa s normální podgrupou H indexu m, K komutativní těleso. Ukažte, že existuje reprezentace G (netriviální) v GL(m, K).
5) R komutativní okruh, S multiplikativní množina v R, phi: R -> RS^-1, phi(r) = r/1. Ukažte, že phi je epimorfismus, tedy pro R' okruh, f, g: RS^-1 -> R' homomorfismy platí f phi = g phi => f = g.

Řešení:
1) Ze zadání plyne |<g>| = m. Řád podgrupy dělí řád grupy dle Lagrange, tedy m dělí n.
2) Z(G) jsou právě prvky s jednoprvkovými orbitami, tedy G = Z(G) U_disj D => |G| = |Z(G)| + |D|. Lagrange => [G : Z(G)] = |G| / |Z(G)|.
Celkem ([G : Z(G)] - 1) * |Z(G)| = |G| - |Z(G)| = |D|.
3) I jsou právě prvky, které mají nulové souřadnice odpovídající vrcholům a cestám délky < m. Zřejmě I je podgrupa. Nechť B je báze, C jsou cesty délky alespoň m, x_b je souřadnice vektoru x odpovídající prvku báze B. Nechť x e <KG>, y e I.
Pak x * y = (sum_(c e C) x_c c) * (sum_(b e B) y_b b) = sum_(c e C, b e B) x_c y_b c * b.
Z definice násobení je c * b cesta délky alespoň m nebo 0 pro každé c, b. Tedy x * y e I. y * x analogicky.
4) Kanonická projekce G na G/H je homomorfismus, dle předpokladu má G/H m prvků, a tedy regulární reprezentace G/H vede do GL(m, K). Složením vznikne požadovaná reprezentace.
5) f phi = g phi => f(r/1) = g(r/1) pro každé r e R. Dále 1 = f(1/1) = f(s/1) * f(1/s) = f(1/s) * f(s/1), tedy f(1/s) = f(s/1)^-1, totéž pro g.
Celkem f(r/s) = f(r/1) * f(s/1)^-1 = g(r/1) * g(s/1)^-1 = g(r/s) pro každé r/s e R.
Odpovědět

Zpět na „Algebra“