Zkouška 14.1.2011 (Upgrade: řešení)

Uživatelský avatar
Robin P.
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 2
Registrován: 14. 1. 2011 20:28
Typ studia: Matematika Bc.
Bydliště: Praha 10 / Chrudim
Kontaktovat uživatele:

Zkouška 14.1.2011 (Upgrade: řešení)

Příspěvek od Robin P. »

(1) \psi je akce grupy G na G\times G; \psi(g): G\times G \rightarrow G\times G takové, že (g_1,g_2) \rightarrow (g_2\odot g,g_2). Popište orbity. (5b.)

(2) Nechť G je grupa řádu p2, p prvočíslo. Dokažte, že G je komutativní. (8b.)

(3) Dokažte, že každý ideál v podílovém okruhu RS^{-1} je tvaru IS^{-1} pro nějaký ideál v R. (7b.)

(4) Dokažte existenci a jednoznačnost limity digramu \xymatrix{A \ar@/^/[r]^f \ar@/_/[r]_g  &B} v kategorii modulů. (7b.)

(5) Nechť \varphi_i: G\rightarrow GL(n_i,K) je reprezenatce grupy G stupně ni nad K (i=1,2). Dokažte, že existuje reprezentace \psi : G\rightarrow GL(n_1+n_2,K) stupně n1+n2 taková, že Ker\psi = Ker\varphi_1\cap Ker\varphi_2 (5b.)

Řešení: (1) \forall (g_1,g_2)\in G\times G je O_{(g_1,g_2)}=\{\psi(h)((g_1,g_2)); h\in G\}=(G,h), protože v první složce se jedná o pravou translaci (orbitou je celá grupa) a ve druhé se jedná o identitu (pouze jednobodové orbity).

(2) Viz skripta věta 1.61.

(3) Viz skripta věta 2.31.

(4) Viz skripta příklad 2.64.

(5) Definujme \psi(g):= \left( \begin{array}{cc} \varphi_1(g) & \begin{array}{cc} 0 & \ldots \\ \vdots & \ddots \end{array} \\ \begin{array}{cc} 0 & \ldots \\ \vdots & \ddots \end{array} &  \varphi_2(g) \end{array} \right). Snadno se ukáže že je to požadovaná reprezentace.

Známkování: 32 - 24 bodů: výborně
23 - 18 bodů: velmi dobře
17 - 12 bodů: dobře
0 - 11 bodů: neprospěl/a
Omnia ad maiorem MFF gloriam!
Odpovědět

Zpět na „Algebra“