zkouška 11.2.2010 Trlifaj

atamann
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 11
Registrován: 2. 6. 2010 16:56
Typ studia: Matematika Bc.

zkouška 11.2.2010 Trlifaj

Příspěvek od atamann »

1) (7b) Nechť G je konečná grupa, X neprázdná množina a \phi je akce G na X. Dokažte, že pro každé x z X je velikost orbity prvku x v akci \phi rovna indexu jeho stabilozátoru
2) (8b) Nechť G1, ..., Gn jsou podgrupy G=(G, @, -1, e) takové, že platí:
(i) Gi komutuje s Gj (gi @ gj = gj @ gi, pro každé gi z Gi a gj z Gj
(ii) každý prvek g z G lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru g = \pi1(g) @ ... @ \pin(g), kde \pii(g) z Gi pro všechna i <= n.
Dokažte, že pro každé i <= n je \pii: G -> Gi grupovým homomorfismem a (g, (\pii | i <= n)) je součinem souboru (Gi | i<= n) v kategorii grup.
3) (5b) Dokažte, že lokalizace oboru integrity v jeho libovolném prvoideálu je opět oborem integrity.
4) (5b) Uveďte příklad okruhu R, jeho levého ideálu I, který není pravým idálem a jeho pravého ideálu J, který není levým ideálem.
5) (7b) Nechť KG značí algebru cest konečného grafu G nad komutativním tělesem K a J značí K-podprostor v KG generovaný všemi cestami (délky aspoň 1). Dokažte, že J je oboustranný ideál v KG, a popište faktorový okruh KG/J.
Odpovědět

Zpět na „Algebra“