zkouška 9.3.2007
Napsal: 9. 3. 2007 21:26
1) Zformulujte a dokažte Cayleyho větu pro grupy.
(7 bodů)
2) Nechť φ je regulární reprezentace konečné grupy G nad komutativním tělesem K. Určete charakter reprezentace φ.
(6 bodů)
3) Dokažte, že ideál I≠R v komutativním okruhu R je prvoideál, právě když faktorový okruh R/I je oborem integrity. Užijte tento výsledek k popisu všech prvoideálů okruhu R.
(7 bodů)
4) Nechť KG značí algebru cest konečného grafu G o n vrcholech nad komutativním tělesem K. Dokažte, že v KG existují prvky e_1,...,e_n takové, že 1=e_1 + ... + e_n; e_i * e_i = e_i a e_i * e_j = 0 pro všechna i≠j.
(6 bodů)
5) Nechť G je grupa a H je její podgrupa indexu 2. Dokažte, že H je normální podgrupou v G.
(5 bodů)
(7 bodů)
2) Nechť φ je regulární reprezentace konečné grupy G nad komutativním tělesem K. Určete charakter reprezentace φ.
(6 bodů)
3) Dokažte, že ideál I≠R v komutativním okruhu R je prvoideál, právě když faktorový okruh R/I je oborem integrity. Užijte tento výsledek k popisu všech prvoideálů okruhu R.
(7 bodů)
4) Nechť KG značí algebru cest konečného grafu G o n vrcholech nad komutativním tělesem K. Dokažte, že v KG existují prvky e_1,...,e_n takové, že 1=e_1 + ... + e_n; e_i * e_i = e_i a e_i * e_j = 0 pro všechna i≠j.
(6 bodů)
5) Nechť G je grupa a H je její podgrupa indexu 2. Dokažte, že H je normální podgrupou v G.
(5 bodů)