zkouška 31.1.2007
Napsal: 1. 2. 2007 15:58
1)Nechť G(∙,-1,1) je grupa a H1 a H2 její podgrupy konečného indexu. Dokažte, že (H1 ∩ H2) je podgrupa konečného indexu a že [G : H1 ∩ H2] ≤ [G : H1]∙[G : H2]. Uveďte příklad grup G, H1 a H2, kdy je nerovnost ostrá.
(8 bodů)
2)Buď φ: G -> GL(n,K) regulární reprezentace konečné grupy G, kde n=|G| a K je komutativní těleso. Rozhodněte, pro které g z G je φ(g) diagonální matice.
(5 bodů)
3)Buď (M,°,e) konečný monoid. Dokažte, že každý zprava invertibilní prvek M je zleva invertibilní.
(6 bodů)
4)Nechť T je komutativní těleso a G je orientovaný graf s vrcholy {a,b,c,d} a hranami {(a,c);(b,c);(c,d)}. Určete T-dimenzi algebry cest R=TG, pravého ideálu cR a levého ideálu Rc.
(7 bodů)
5)Nechť R je obor integrity, popište prvoideály P v R takové, že RP je těleso.
(6 bodů)
(8 bodů)
2)Buď φ: G -> GL(n,K) regulární reprezentace konečné grupy G, kde n=|G| a K je komutativní těleso. Rozhodněte, pro které g z G je φ(g) diagonální matice.
(5 bodů)
3)Buď (M,°,e) konečný monoid. Dokažte, že každý zprava invertibilní prvek M je zleva invertibilní.
(6 bodů)
4)Nechť T je komutativní těleso a G je orientovaný graf s vrcholy {a,b,c,d} a hranami {(a,c);(b,c);(c,d)}. Určete T-dimenzi algebry cest R=TG, pravého ideálu cR a levého ideálu Rc.
(7 bodů)
5)Nechť R je obor integrity, popište prvoideály P v R takové, že RP je těleso.
(6 bodů)