Zaklady algebry

Lydka

Zaklady algebry

Příspěvek od Lydka »

Cafte..

ja som na skuske este nebola, ale zohnala som nejake otazky. Vidim, ze tu nikto nechce nic dat, tak sa pokusim sem dat vsetko, co mam..
Lydka

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od Lydka »

Najprv pisomka, potrebujete 10 bodov z 15. Pokial mate okolo osem bodov az desat, tak akoby ste na skuske neboli, na skusku neidete, ale na sis nedostanete 4. Pod osem bodov je to za 4 v sise. Ale pokial mate ason desat bodov, tak vas caka ustna :)
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

pisomka prva:

1) definuj Cinsku vetu
2) mame algebry typu (A,*,c) a (B,o,d). Definuj medzi nimi homomorfizmus.
3) definuj Homomorfizmus (dvoch grup) + Ker a Im, co to je, ako vyzera
4) za akych podmienok <k>=Zn?
5) definuj Stabilizator, co to je. Aky je vztah medzi poctom orbit a stabilizatorom
6) definuj Podokruh a Ideal
7) napis ako funguje Euklidov algoritmus
8) definuj n-nasobny koren
9) (nieco, co sme nebrali.. uz to neda do pisomky)
10) Zisti posledne tri cifri cisla 3^402
11) Mame Q a Q* . Zisti, ci su izomorfne strucne zdovodni
12) Kolko prvkov ma stabilizator bodu 2 v povodnomposobeni grupy S6 na {1,..6}
13) Kolkonasobny je koren 1 polynomu x^4 + x + 1 v Z3[x].
14) Je polynom 5 ireducibilny v Z[x]?
15) definuj Faktorgrupu
Naposledy upravil(a) lyduskag dne 15. 1. 2007 19:12, celkem upraveno 1 x.
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

pisomka druha

1)diferencna rovnica - definicia
2) stabilizator
3) Gaussov obor
4) suvislost nasobneho korena a derivacia
5) akeho radu je 2 v Z*64
6) generuje 7 Z*77? Z*83?
7) je polynom ireducibilny?

a ustna:

1) polynom rozloz do 6 oborov: R[x], Z[x],...
2) 6 - cipa hviezda rozdelena na trojuholniky. Kolko je sposobov zafarbenia 2 farbami (6 bielych trojuholniko a 6 ciernych) az na otocenie a prevratenie. Velkost mnozin 12.
3) dokaz Eulerovej vety
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

pisomka tretia:

1) Veta o homomorfizme a prva veta o izomorfizme okruhov
2) suvislost medzi nasobenostou korena a derivaciami
3) akeho radu je prvok 12 v grupe Z61
4) ci v 73-prvkovej grupe moze existovat prvok radu 11? [odpoved: NE]
5) x^3 + x^2 + x + 1 v Z3[x], kolkonasobny je koren 2?
6) definuj homomorfizmus algebier (A,*) a (B,o).
7) (co sme nemali)
8) vztah medzi [x] a ... (?)
9) pocet orbit D2n na hrany n-uholnika
10) obycajny euklidov algoritmus
11) definuj translaciu v abelovskej grupe a jej vlastnosti
12) definuj teleso
13) klasifikuj cyklicku grupu
14) uvedte priklad a) Oboru integrity neni Gaussov
b) gaussov ktory nie je euklidov

ustna:
1) rozloz (1 + 5i) v Z na sucin ireducibilnych prvkov [odpoved: (1 + i)(3 + 2i)]
2) Tvori H={pi patri S4, (pi)^2 = id} normalnu podgrupu S4?
3) dokazte vzorec pre vypocet euklidovej funkcie
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

pisomka stvrta:

1) cinska veta o zbytkoch
2) je polynom x^4 + 2x^2 + 1v Q ireducibilny?
3) moze mat nejaky polynom stvrteho stupna v konecnom telese 5 korenov?
4) definuj homomorfizmus u al. grup (A,`,c), (B,``,d). [poznamka: c,d su konstanta]
5) definuj faktorokruh
6) definuj gaussov obor
7) moze mat al. grupa neabelovsku faktorgrupu?
8) (nemali sme)
9) definujte relaciu tanzitivity a orbitu
10) definuj Al. grupy
11) definuj okruh
12) uved definiciu suvislosti medzi n-nasobnostou korena a derivacie
13) kolko pevnych bodov ma 13-miestna permutacia S18?
14) popis vetu o klasifikacii cyklickych grup
15) urcite rad prvku 2 v Z*65
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

pisomka piata:

1) euklidov algoritmus + popis
2) cyklicka grupa
3) rad prvku definicia
4) veta o rieseni diferencnej rovnice
5) je 2x^2 + x v Q ireducibilni?
6) nasobnost korena 1 v ... (?)
7) Z6 x Z9 (= a nad tym ~) Z54?
...

[vraj sa mi doda dalsie otazky k tejto pisomke, ale asi sa na to uz zabudlo]

ustna:

1) dif. rovnica vyriesit [poznamka: viem len, ze koren bol (x + 1)^2 . (x+2)^2]
2) G grupa: def. x -> x^(-1)
dokazte zobrazenie je homomorfizmus prave vtedy, ked G je abel. grupa
3) definicia faktorgrupy + dokaz vety o izomorfizme
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

pisomka siesta (a posledna z dna 12.1.):

1) cinska veta o zbytkoch
2) definuj abel. grupu
3) veta o nasobnosti korena
4) cyklicke grupy (charakteristiky vsetky)
5) 3^2007, zisti poslednu cifru
6) 5 patri Z[x] invertibilny?
7) naobnost 2 v nejakom polynome
8) definuj Gaussov obor
9) (co sme nemali)
10) definuj faktorokruhu
11) stabilizator + vztah orbity a stabilizatora
12) posobenie D2n na pocet orbit na hrane n-uholnika
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

este som vam zabudla povedat, ze kazdy ma inu pisomku, preto som tu vypisovala sest... viac som neziskala :(

drzim palce, hadam tu skusku urobime :)
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

Caute, mam dve pisomky.. jednu z ponedelka a jednu zo stredy (teda moju)..

prv ta pondelkova:

1) Cinska veta o zbytkoch (CVZ)
2) definuj podalgebru v algebre (A,*,c)
3) definuj homomorfizmus grup. Co je Ker a Im?
4) definuj cyklicku grupu
5) G je grupa a H jej podgrupa. Co znaci [G:H]?
6) definuj obor integrity
7) rozhodni, co plati:
gaussov obor je euklidov [nie]
vsetky obory integrity su gaussove [nie]
euklidov obor je gaussov [ano]
telesa su gaussove [ano]
8) gefinuj hom. lin. dif. rovnicu s konstantnymi koeficientami. Co je char. polynom?
9) veta o homomrfizme a 1. vete o izomorfizme pre grupy. Co je Ker?
10) 5^444 mod 132
11) generuje 7 Z83? generuje 7 Z77? zdovodni
12) existuje neabelovska 12 prvkova grupa? ak ano, uved priklad.. ak nie, zdovodni [ano, existuje. napriklad A4 (netusim, co to je, ale to som mala aj ja a mne napisal, ze vraj to je priklad takej grupy)]
13) sspolocny najmensi ideal okruhu Z obsahuje prvky 6a 8 [tusim sa ma z cisel urobit prienik, takze 2.. ale len asi]
14) rozloz 2x+4 na ireducibilny v Z[x]. [2.(x+2) tak to staci napisat]
15) kolko prvkov ma stabilizator daneho vrcholu v posobeni grupy D12 na vrcholy pravidelneho 6-uholnika?

ustna:
1) R=({(matica 2x2 v prvom riadku: a b, v druhom: -b a): a,b patria Z}) je to podokruh mnoziny M2Z (matice 2x2, ktore maju cele cisla). Je to ideal? (a este nieco tam bolo, asi ci je R izaomorfny so Z?

[co viem z riesenia: R si doplnim o operacie +,-,.,0 a dokazem, ze je to podokruh. Ci je ideal, dokazem, ze r.i a i.r nepatri R, takze ideal to nie je. A co styka izomorfnosti.. michal tam vraj robil nieco s komplexnymi cislami, lebo ze ku kazdej matici priradil komlexne cislo a ja uz neviem, co tam este ma byt]

2) Zafarbi trojuholnik 3 farbami, ked z jednej mas 8 kuskov, z dalsich dvich farieb po 4. [neviem, ako vam tu nakreslit ten trojuhilnik, ale vyzera ako trojuholnik :) a uplne hore ma jeden riadok, kde je jeden maly trojuholnik, v druhom rade su 3 trouholnicky, v tretom rade ich je 5 a v stvrtom, teda poslednom ich je 7]. je to az na otocenie a prevratenie.

3) neviem co tam bolo
lyduskag
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 7. 9. 2006 18:08

Re: Zaklady algebry

Příspěvek od lyduskag »

takze moja pisomka zo stredy:

1) defnujte eulerovsk funkciu a uvedte vzorec pre jej vypocet
2) uvedte definiciu podalgebry algebry (A,`,c), kde ` je unarna opeeracia a c je konstanta
3) definujte grupu Z*n [za to mi dal 3/4 bodu, tusim som nemala operacie.. alebo to bolo stvorke?]
4) definujte cyklicku grupu [napisala som len definiciu a dal mi 1/2 bodov]
5) uvedte Lagrangeovu vetu
6) definujte podokruh a ideal daneho okruhu
7) definjte v danom oboru integrity nasledovne znacenie: a|b, a||b, a je invertibilny
8) Napiste vetu (algoritmus) na obecne riesenie hom. lin. dif. rovnice s konstantnymi koeficientami
9) uvedte vetu o homomorfime a 1. vetu o izomorfizme pre grupy. Co znaci Ker?
10) spocitajte 123^321 mod 8
11) generuje 2 grupu Z*9? strucne zdovodnite [ano, generuje, lebo nadobuda vsetky nesudelitelne cisla s 9..]
12) existuje neabelovska 12-prvkova grupa? Pokud ano, uvedte priklad. Pokud ne, zduvodnite. [ano, existuje. Napriklad A4]
13) Spoctete podoruh okruhu Z generovany mnozinou {12,15} [mam za to 0, malo tam byt ze ako ten poodkruh vyzera a on vyzera tak, ze tak su vsetky prvky zo Z, ktore su delitelne cislom 3]
14) Kolkonasobny je koren 1 v polynome x^4 + x + 1 patriaci do Z3[x]? [ja som to derivovala a mam za to 0 bodov, lebo to nesplna podmienku ze degp< charaktedristika 3 (lebo je to v Z3)]
15) Kolkymi sposobmi lze zafarbit vrcholy stvorca troma farbami, z ktorych kazdu musime pouzit aspon raz? Dve obarveni povazujeme za totozne, pokud jedno dostneme z druheho otocenim stvorca?

ustna:
1) Rozloz polynom x^8 + 1 v Z3[x] na sucin ireducibilnych.
[je to (x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1) a drbal ma na tom, preco je x^4+1 irducibilny.. Potrebujete si za tym stat.. a iredicibilny je preto, lebo nema koren v Z3, ale ani vyskusanim vsetkych moznosti vydelenia toho polynomom (x^2+1) a (x^2-1) a (x^2+x+1) a tak dalej.. proste musite vyskusat vsetky moznosti, cim by sa to mohlo dat delit a poviete, ze to nijak inak neide. Pretoze odo mna chcel dokazat, ze (x^4+1 je ireducibilny)]

2) Dokazte ze SUMA (pre vsetky k|n) {fi - euler. funkcia(k)}=n
[to daval ako priklad na prednaskach.. je to aj v skriptach za dosledkom 5.5, je jednoduche dokazat, ked tam pouzijete dosledok 5.5, ze Grupa Zn obsahuje pre kazde k|n prave {fi(k)} prvkov radu k]

3) Definujte faktorgruopu a dokazte 1. vetu o izomorfizme
[nestaci mu len definicia.. potrebujete dokazat, ze faktorgrupa splna podmienky pre grupu, potom, ze ked [a].:= [a.b], tak ci plati pre [a]=[c] a pre =[d] => (?) [c].[d]=[c.d] .. chcel to dokazat..
potom, som mu napisala presny dokaz z jeho skript ku 1. vete o izomorfizme, ale vraj to je ako vytrhute z kontextu, ale ked som sa dopietla na tom dokaze ze [c].[d]=[c.d], tak som mu povedala, ze to bola posledna tema, ze mu to nedokazem, nechal ma tak..]

A mam za 2. Bol to boj. Velky boj.. Ale uz algebra paa paa.
Drzim vam palce
Návštěvník

Příspěvek od Návštěvník »

pisomka z 22.1.
1. Zakladna veta aritmetiky
2. cayleyovu reprezentaciu
3. veta o nasobnosti korena a derivacie
4. 13- prvkova neabelovska grupa, ci existuje a ak nie preco, ak hej priklad
5. kolko stabilizatorov ma sachovnica ked ju nafarbime na bielo (4 stabilizatory)
6. zistit, ze kolkonasobny je koren 1 v polynome x^4 + x + 1 v Z3[x] (aspon myslim)
7.kolko prvkov ma grupa Z*396 (asi, nie som ista)
8.homomorfizmus ohruhov a ker a im
9. Potom tam boli nejake algebry s nejakymi operaciami a definovat medzi nimi homorfizmus
10. kolko je podgrup grupy S3
11. ako vyzera podgrupa grupy S4 generovana permutaciami (1234) a (34) - asi tak nejak boli tie permutacie
12. definovat faktorgrupu pomocou normalnej podgrupy N
13.definovat relaci tranzitivity a orbitu
Na dalsie dve si uz asi nespomeniem. Na ustnu cast nas asi z dvanastich postupilo 5 a nakoniec urobili 4.

Na ustnej bolo
1.Dokazat, ze Z{i} je euklidovsky obor
2.najst vsetky ohruhove homorfizmy zo Z do Z
3.dokazat ze ked plati pre kazde x z nejakej grupy x^2 = 1 ze grupa je abelovska a najst priklad grupy pre ktoru plati x^3 = 1 je neabelovska

Nakoniec mam za tri, ale bol to velky boj. Drzte sa
:)
smajLiFka
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 5
Registrován: 4. 2. 2006 21:33
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Zaklady algebry

Příspěvek od smajLiFka »

Caute.. toto mam otazky od nejakych uciteLov (akoze obor uciteLstvo;)):
1)Vyslovte Čínskou větu o zbytcích.
2)Vyslovte větu o souvislosti mezi násobností kořene polynomu a jeho derivacemi.
3)Vyslovte větu o klasifikaci cyklických grup (až na izomorfismus).
4)Vyslovte větu o homomorfismu a 1. větu o izomorfismu okruhů.
5)Definujte homomorfismus abelovských grup (A, ´, c) a (B, ´´, d).
6)Definujte homomorfismus algeber (A, *, c) a (B, o, d).
7)Definujte homomorfismus algeber (A, *) a (B, o).
8)Definujte homomorfismus grup, Ker  a Im 
9)Definujte okruh.
10)Definujte podokruh a ideál.
11)Definujte faktorokruh.
12)Definujte faktorgrupu.
13)Definujte abelovskou grupu.
14)Definujte Gaussův obor integrity.
15)Definujte translaci na abelovské grupě a popište její vlastnosti.
16)Definujte těleso.
17)Definujte relaci tranzitivity a orbitu.
18)Definujte n-násobný kořen polynomu.
19)Uveďte příklad a) oboru integrity, který není Gaussův, b) Gaussova oboru, který není Eukleidův.
20)Může mít abelovská grupa jako podgrupu neabelovskou faktogrupu?
21)Existuje uspořádání, které má tři maximální prvky a žádný nejmenší?
22)Je polynom x4 + 2x2 + 1 ireducibilní v Q[x]?
23)Je polynom 5x ireducibilní v Z[x]?
24)Kolikanásobným kořenem polynomu x4 + x + 1 je 1 v Z3[x]?
25)Určete řád prvku 12 v grupě Z61.
26)Určete řád prvku 2 v grupě Z65*.
27)Může v nějaké 73-prvkové grupě existovat prvek řádu 11? Pokud ano, uveďte příklad.
28)Za jakých podmínek <k> = Zn? Kolik prvků řádu k má Zn?
29)Může mít nějaký polynom 4. stupně v konečném tělese 5 kořenů?
30)Kolik pevných bodů má 13-místná permutace S18?
31)Kolik prvků má stabilizátor prvku 2 v působení grupy S6 na {1, 2, ..., 6}?
32)Mějme grupu G a množinu X. Definujte stabilizátor prvku x. Jaký je vztah mezi počtem orbit a velikostí stabilizátoru?
33)Určete počet orbit v působení grupy D2n na množině všech hran pravidelného n-úhelníka.
34)Zjistěte, zda jsou Q a Q* izomorfní. Stručně zdůvodněte.
35)Zjistěte poslední tři cifry čísla 3402.
36)Popište Euklidův algoritmus.
37)Existuje uspořádaná množina, která má 3 maximální prvky a žádný nejmenší?
38)Nakreslete nejmenší uspořádanou množinu, která má 3 maximální a alespoň 1 nejmenší prvek.

V druhé části pak:
1)Dokažte vzorec pro výpočet Eulerovy funkce. (Důkaz tak na stránku A4, ale celkem pěkný, logický a nezáludný :-)
2)Zjistěte, zda {  S4, id} tvoří normální podgrupu S4. (Netvoří vůbec žádnou podgrupu :-)
3)Rozložte (1 + 5i) na součin ireducibilních činitelů v Z.
smajLiFka
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 5
Registrován: 4. 2. 2006 21:33
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Zaklady algebry

Příspěvek od smajLiFka »

Mno a ece moje otazky co si spomeniem :)
1. Definuj izomorfizmus abeLovskych grup. (tak treba deFinovat aj homomorfizmus)
2. Napis vetu o homomorfizme grup a 1.vetu o izomorfizme. Co je Ker fi?
3. cinska veta o zvyskoch
4. definuj ideal a hlavny ideal
5. Co je podgrupa S4 generovana permutaciami (124) a (34)? {je to prazdna mnozina bo prienik medzi takymi permutaciami neexistuje}
6. 10^444+12^666 mod 12 (treba si to upravit pak pouzit cinsku vetu mod 4 a mod 3 a pak uz to skoro vyjde:))
7. definuj invertibiLne cisLa. a vetu o jednoznacnom rozklade na ireducibiLne ciniteLe.
8. homomorfizmus aLgebier
9. pocet orbit pri posobeni D2n na hrany n uhoLnika.{mam 0 bodov, aLe vysledok bol 1, postup neviem}
10. Kolkonasobny je koren 2 v x^3+x^2+3 v Z3[x]. {nemoze sa derivovat, treba deLit (x-2). Vyjde tusim Len 1-nasobny}
11. Napis Lagrangeovu vetu
12. Definuj cyklicku grupu {treba definovat aj grupu}

viac si Fakt nepamatam:)

Na ustnej som maLa:
1.Dokaz ze M2(Z)=<(11), (10)>
(01), (11)

{M2(Z) je mnozina regularnych matic 2x2. je to tusim okruh. treba ukazat ze tie dve matice generuju ceLy okruh. staci ked nejako nagenerujete styri matice take ze je tam jedna 1 a ostatne 0, pak uz to generuje M2(Z). Ja som to aLe vobec nevedeLa, tak som si vypytaLa novy prikLad. DaL mi taky podobny, ze ci permutacie (12345),(12)(35) generuju D10, co je mnozina vsetkych symetrii na 5-uhoLniku. To som iba skLadaLa tie permutacie a vysLo mi ze ix bude 10, pak uz sa opakuju a je to presne tych 10, co tvoria D10}

2. Najdi vsetky okruhove homomorfizmy Z->Z.

{Tam existuju iba dva: bud x->x abo x->0. zdovodnit som to moc nevedeLa.Akurat som mu povedaLa ze aby to boL okruhovy homomorFizmus musi to byt aj homomorfizmus grup, cize tam neni to nasobenie. a ece to ma daky suvis s typ ze podgrup Z su ibaa k*Z a ked vyskusam zobrazenie x->k*x, tak to homomorfizmus neni. Nebolo to vsetko co xceL aLe viac k tomu neviem a na 2ku to staciLo:)}

3. EukLidovske obory, EukLidov aLgoritmus

{NapisaLa som iba deFiniciu tych oborov, par prikLadov, a pak ece ze setky euklidovske su gaussove. chcel ece vediet aky je suvis s tym ze ked ma daco jednoznacny ireducibiLny rozkLad, teda je to gaussove a tym ze ma jednoznacne az na asociovanost urceny NSD..vraj je daka veta v skriptach. No a aLgoritmus som mu dokazaLa iba na prirodzenych cisLach, samozrejme ten rozsireny, a staciLo mu to.}

Mam teda 2ku. Inak sa pripravte ze na ustne stravite tak 2 hodiny...teda ja som si hodinu a poL pripravovaLa tie dve otazky a pak ece skoro poLhodnu boL pri mne a pozeraL si to. A tto som odchadzaLa ako druha;)
Drzim paLce[/quote]
Odpovědět

Zpět na „Předměty finanční matematiky“