Caute.. toto mam otazky od nejakych uciteLov (akoze obor uciteLstvo;)):
1)Vyslovte Čínskou větu o zbytcích.
2)Vyslovte větu o souvislosti mezi násobností kořene polynomu a jeho derivacemi.
3)Vyslovte větu o klasifikaci cyklických grup (až na izomorfismus).
4)Vyslovte větu o homomorfismu a 1. větu o izomorfismu okruhů.
5)Definujte homomorfismus abelovských grup (A, ´, c) a (B, ´´, d).
6)Definujte homomorfismus algeber (A, *, c) a (B, o, d).
7)Definujte homomorfismus algeber (A, *) a (B, o).
8)Definujte homomorfismus grup, Ker a Im
9)Definujte okruh.
10)Definujte podokruh a ideál.
11)Definujte faktorokruh.
12)Definujte faktorgrupu.
13)Definujte abelovskou grupu.
14)Definujte Gaussův obor integrity.
15)Definujte translaci na abelovské grupě a popište její vlastnosti.
16)Definujte těleso.
17)Definujte relaci tranzitivity a orbitu.
18)Definujte n-násobný kořen polynomu.
19)Uveďte příklad a) oboru integrity, který není Gaussův, b) Gaussova oboru, který není Eukleidův.
20)Může mít abelovská grupa jako podgrupu neabelovskou faktogrupu?
21)Existuje uspořádání, které má tři maximální prvky a žádný nejmenší?
22)Je polynom x4 + 2x2 + 1 ireducibilní v Q[x]?
23)Je polynom 5x ireducibilní v Z[x]?
24)Kolikanásobným kořenem polynomu x4 + x + 1 je 1 v Z3[x]?
25)Určete řád prvku 12 v grupě Z61.
26)Určete řád prvku 2 v grupě Z65*.
27)Může v nějaké 73-prvkové grupě existovat prvek řádu 11? Pokud ano, uveďte příklad.
28)Za jakých podmínek <k> = Zn? Kolik prvků řádu k má Zn?
29)Může mít nějaký polynom 4. stupně v konečném tělese 5 kořenů?
30)Kolik pevných bodů má 13-místná permutace S18?
31)Kolik prvků má stabilizátor prvku 2 v působení grupy S6 na {1, 2, ..., 6}?
32)Mějme grupu G a množinu X. Definujte stabilizátor prvku x. Jaký je vztah mezi počtem orbit a velikostí stabilizátoru?
33)Určete počet orbit v působení grupy D2n na množině všech hran pravidelného n-úhelníka.
34)Zjistěte, zda jsou Q a Q* izomorfní. Stručně zdůvodněte.
35)Zjistěte poslední tři cifry čísla 3402.
36)Popište Euklidův algoritmus.
37)Existuje uspořádaná množina, která má 3 maximální prvky a žádný nejmenší?
38)Nakreslete nejmenší uspořádanou množinu, která má 3 maximální a alespoň 1 nejmenší prvek.
V druhé části pak:
1)Dokažte vzorec pro výpočet Eulerovy funkce. (Důkaz tak na stránku A4, ale celkem pěkný, logický a nezáludný
2)Zjistěte, zda { S4, id} tvoří normální podgrupu S4. (Netvoří vůbec žádnou podgrupu
3)Rozložte (1 + 5i) na součin ireducibilních činitelů v Z
.