Norma operatoru

Norma operatoru

Příspěvekod sadda » 18. 1. 2008 22:36

Nevite nekdo, jak spocitat normu operatoru T:L^p[0,1] do R, kde Tf je integral{0->1}{tf(t) dt}. Byl jsem to schopnej zdola odhadnout jednickou a zeshora dvojkou, ale to je tak asi vsechno:( Myslim si, ze by mela vyjit jednicka, ale nevim, jak dal. Neumite nekdo prosim poradit?

EDIT- tak s tou jednickou jsem to spocital spatne, muj nejlepsi dolni odhad je tedy pouze 1/2, kdy za f dosadim jednicku:(
Naposledy upravil sadda dne 19. 1. 2008 09:21, celkově upraveno 1
sadda
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 62
Registrován: 22. 3. 2006 12:32

Re: Norma operatoru

Příspěvekod Návštěvník » 19. 1. 2008 00:35

Ahoj, napadlo me tohle :
|T(f)| = |(t,f(t))| <= ||t|| * ||f|| <= ||t||
T(t / ||t||) = (t, t / ||t||) = ||t|| ==> ||T|| = ||t|| v Lp([0,1])
Pokud tam je nejaka chyba, tak budu rad, kdyz me nekdo opravi...
Návštěvník
 

Re: Norma operatoru

Příspěvekod Návštěvník » 19. 1. 2008 00:42

Tohle asi plati jenom pro L2...takze sam nevim
Návštěvník
 

Re: Norma operatoru

Příspěvekod sadda » 19. 1. 2008 09:23

Diky. Pro L2 me todle napadlo taky, pak jeste vim pro L1, kdy f nashromazdim u jednicky, takze to t mi tam, nebude hrat dulezitou roli a pak L{nekonecno}, kde volis f=1 a vyjde ti 1/2. Jinde ale vubec netusim, co s tim:(
sadda
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 62
Registrován: 22. 3. 2006 12:32

Re: Norma operatoru

Příspěvekod Návštěvník » 19. 1. 2008 11:47

Myslim, ze zbytek by mohla resit veta 13.34 v UFA. Lq a (Lp)* jsou izometricky izomorfni. A tedy ||T|| pro Lp bude ||t|| v Lq. A tohle plati pro p < [1,nekonecno) ... a pro p = nekonecno by to slo udelat, jak jsi napsal.
Návštěvník
 

Re: Norma operatoru

Příspěvekod sadda » 21. 1. 2008 22:47

Jasne, diky moc. Nevis jeste nahodou rict, jestli se normy nabyva nebo ne?
sadda
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 62
Registrován: 22. 3. 2006 12:32

Re: Norma operatoru

Příspěvekod Návštěvník » 22. 1. 2008 03:55

Pro p = 2 urcite, vemes si f := t/||t||. A pro ostatni p by to taky mohlo takhle byt : vezmes f := t/( ||t|| v Lq ). Ale to nevim, jenom tipuju...taky me to zajima. Jestli na to prijdes, dej vedet.
Návštěvník
 

Re: Norma operatoru

Příspěvekod sadda » 22. 1. 2008 11:30

Norma t v L^q je (vyjadrena pres p) ((p-1)/(2p-1))^((p-1)/p). Zkusim si zvolit f=t^a, kde a je nejaky parametr. Spocitam normu f - vyjde 1/(ap+1)^(1/p) a zkusim dosadit f/||f|| do T. Vyjde mi (ap+1)^(1/p)/(a+2). Toto polozim rovno norme T a zkusim vyjadrit a v zavislosti na p. Vyjde rovnice (ap+1)/(a+2)^p=((p-1)/(2p-1))^(p-1). Obecne to samozrejme vyresit nejde. Pokud ale p je cele, tak dostavam polynom p-teho stupne, coz ma p reseni. Pri trose stesti by aspon jedno mohlo byt realne a padnout do nejakeho rozumneho intervalu (aby f vubec patrilo do L^p). Ten vzorecek by mohl byt dobre, alespon pro p=2 dava reseni a=1, coz odpovida dosazeni f=t/||t||.
sadda
Matfyz(ák|ačka) level II
 
Příspěvky: 62
Registrován: 22. 3. 2006 12:32

Re: Norma operatoru

Příspěvekod Martin » 31. 1. 2009 12:07

Normy se nabývá prostě proto, že prostor L^p pro p \in (1,\infty) je reflexivní. (Tedy z Hahn-Banacha existuje pro ten funkcionál f (z L^q = (L^p)^*) prvek druhého duálu, který na něm nabývá své normy. Z reflexivity (resp. z toho, že druhý duál k L^p je zase L^p) potom plyne, že tento prvek druhého duálu je ve skutečnosti reprezentován prvkem původního prostoru (tj. L^p). Tato úvaha samozřejmě funguje obecně - je to vlastně důkaz toho, že na reflexivním prostoru každý funkcionál nabývá své normy.
"Endure. In enduring grow strong."
Uživatelský avatar
Martin
Supermatfyz(ák|ačka)
 
Příspěvky: 332
Registrován: 19. 2. 2005 20:23
Typ studia: Matematika Ph.D.


Zpět na Funcionální analýza

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník

cron