Markovova nerovnost

Úvod do kombinatoriky a teorie grafů. Důraz je kladen na aktivní zvládnuti základních pojmů a metod (relace, zobrazení, graf; přesná formulace matematických tvrzení, řešení příkladů a dokazovaní jednoduchých tvrzení).
chmirko
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 17
Registrován: 11. 10. 2009 18:00
Typ studia: Informatika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Markovova nerovnost

Příspěvek od chmirko »

v poznámkách mám jako Markovovu nerovnost tohle (za předpokladu že sem to správne opsal)
P[X>=t*E[X]]<=1/t
pro t>=1 X>=0
no a mám s tím problém, především s dúkazem

------

dúkaz začíná takhle
sum(a,b) - suma přes a z hodnot b; o - male omega, O - velke omega, z - je prvkem


E[X]=sum(ozO, P[{o}]*X(o) )
ze sumy vyrazime male omega kera sou menší než "a", tedy zústanou jen rovné a větší "a", čím se celá suma zmenší
E[X]>=sum(o:X(o)>=a, P[{o}]*X(o) )
X(o) tedy dosahuje hodnoty "a" a větší, když tam fláknem "a" pokaždé ješte to zemnšíme
E[X]>=sum(o:X(o)>=a, P[{o}]*a )
tohlencto nám dá sumu všech pravdepodobností že X(o) je větší než "a" krát to "a", tedy se to rovná
E[X]>=P[X(o)>=a]*a

no a z tohohle si upravou dokážu dostat
E[X]/a>=P[X(o)>=a]
co se mi moc púvodnímu nepodobá, při snaze o trochu googlení sem tenhle tvar našel jako Markovovu nerovnost, třeba na wiki (eng, cs ani sk nic takového nemá)

otázka je, jak z toho dostanu ten tvar co mám v sešitu, a nejspíš bude správnej, protože googlením se taky nekde vyskitnul ale bez dúkazu nebo vysvětlení

možná by mi stačilo nejak dokázat že P[něco]/E[X] = P[něco*E[X]], pak by se to z toho krásne dostal

Předem ďekuji za čtení příspěvku a jeŠte víc za smysluplné odpovědi
Osiris
Supermatfyz(ák|ačka)
Příspěvky: 403
Registrován: 11. 11. 2006 14:10
Typ studia: Informatika Mgr.
Bydliště: Praha
Kontaktovat uživatele:

Re: Markovova nerovnost

Příspěvek od Osiris »

Máme P[X\geq a]\leq\frac{\mathbb{E}X}{a}. Využijme toho, že \mathbb{E}X je konstanta a použijme substituci a=t\mathbb{E}X. Dostáváme P[X\geq t\mathbb{E}X]\leq\frac{\mathbb{E}X}{t\mathbb{E}X}.
Což je to, co jsi chtěl.
Osiris
Odpovědět

Zpět na „DMI002 Diskrétní matematika“