tahák

Kurz matematické analýzy pro studenty prvního ročníku informatiky, který obsahuje základy diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné (limita, spojitost, derivace, Taylorovy polynomy), číselné posloupnosti a řady, primitivní funkce.
Petr Bělohlávek

tahák

Příspěvek od Petr Bělohlávek »

zdravim,
s Pavlem Kalvodou jsme vytvořili rádoby ultimátní tahák na analýzu (hlavně dvojku, ale leccos se neztratí ani v jedničce). Už tu na fóru nějaké byly, ale tenhle je lepší

zdroják najdete na githubu tady https://gist.github.com/petrbel/4e97f5380438af281aad, tak si ho klidně forkněte a vylepšte podle svého. Určitě by bylo super kdyby se tu na fóru objevovaly nové lepší verze

kdybych ho přeci jenom někdy omylem smazal, tak radši přidávám i zdroják sem.

Hodně štěstí u zkoušky!
(a samozřejmě díky všem co pomáhali)

TODO: dopsat spoustu věcí, vymyslet lepší formátování, ale aby se to pořád vešlo na jednu A4

Kód: Vybrat vše

\documentclass[8pt, a4paper]{extarticle}
 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[hmargin=1cm,vmargin=2cm]{geometry}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{multicol}
 

ewcommand{\arctg}{\textup{arctg}}

ewcommand{\arccotg}{\textup{arccotg}}

ewcommand{\arcsinh}{\textup{arcsinh}}

ewcommand{\diff}{\textup{d}}

ewcommand{\reals}{\mathbb{R}}
 
 
\begin{document}
\begin{multicols}{3}
\textbf{Goniometrické identity}
\begin{align*}
\sin x = -\sin(-x) \\
\cos x = \cos(-x) \\
\sin(x+\pi)=-\sin(x) \\
\cos(x+\pi)=-\cos(x) \\
\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x \\
\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x \\
\sin^2x+\cos^2x=1 \\
\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x\sin y \\
\cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y \\
\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \\
\sin x - \sin y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \\
\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \\
\cos x - \cos y = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \\
\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2} \\
\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2} \\
\frac{1}{\cos^2x} = 1 + \tan^2x\\
\arccotg x = \arctg\left(\frac{1}{x}\right)\\
\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\\
\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\\
\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\\
\arcsinh(x) = \log(x+\sqrt{x^2+1})
\end{align*}
 
\textbf{Hodnoty gonio. funkcí}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\alpha (deg)$ & $0$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$ & $180$ \\ \hline
$\alpha (rad)$ & $0$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\ \hline
$\sin\alpha $ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$ \\ \hline
$\cos$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ \\ \hline
$\tan$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & $N/A$ & $0$ \\ \hline
$\cot$ & $N/A$ & $\sqrt{3}$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $0$ & $N/A$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\textbf{Exponenciela a logaritmus}
\begin{align*}
x^y=e^{y\log x} \\
\log_yx=\frac{\log x}{\log y} \\
\end{align*}
 
\textbf{Taylorova řada}
Pro $f(x)$ v $a$:\\ $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$\\
 
\textbf{Limity}
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \sqrt[x]{x} = 1 \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log(x+1)}{x} = 1 \\
\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\log(x)}{x-1} = 1 \\
e^x=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n \\
a>0, b\in \mathbb{R}: \lim\limits_{x\rightarrow \infty} x^a\log^bx = \infty \\
a<0, b\in \mathbb{R}: \lim\limits_{x\rightarrow \infty} x^a\log^bx = 0 \\
a>0, b\in \mathbb{R}: \lim\limits_{x\rightarrow 0} x^a\log^bx = 0 \\
a<0, b\in \mathbb{R}: \lim\limits_{x\rightarrow 0} x^a\log^bx = \infty \\
a>0, b\in \mathbb{R}: \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{e^{ax}}{x^b} = \infty \\
a<0, b\in \mathbb{R}: \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{e^{ax}}{x^b} =  \\
\end{align*}
 
\textbf{Derivace}
\begin{align*}
(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)\\
(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a) \\
\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g^2(a)} \\
(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)} \\
(f\cdot g)^{(n)}(a)=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(a) \\
f'(a):=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\
\end{align*}
 
\textbf{Tabulkové derivace}
\begin{align*}
(x^k)'=kx^{k-1}\\
(e^x)'=e^x\\
(\log|x|)'=\frac{1}{x}\\
(a^x)'=a^x \log a\\
(\log_a x)'=\frac{1}{x\log a}\\
(\sin x)'= \cos x\\
(\cos x)'= -\sin x\\
(\text{tg } x)'= \frac{1}{\cos^2x}\\
(\text{cotg }x)'=\frac{-1}{\sin^2x}\\
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\text{arctg } x)'=\frac{1}{1+x^2}\\
(\text{arccotg }x)'=\frac{-1}{1+x^2} 
\end{align*}
 
\textbf{Limity posloupnosti}
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \Rightarrow K
\end{align*}
 
\textbf{Průběh funkce}
\begin{enumerate}
\item $D(f), H(f)$
\item Limity v krajních bodech
\item Derivace
\item Monotonie
\item Extrémy: $f'(x)=0$
\item Druhá derivace
\item Konvexita $f''(x)\ge0$, konkávnost $f''(x)\le0$
\item Inflexní body
\item Asymptoty $y=kx+q \Leftrightarrow 
\lim\limits_{x \rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=k,
\lim\limits_{x \rightarrow\infty}(f(x)-kx)=q$
\item Graf
\end{enumerate}
 
 
\textbf{Řady}
 
Nutná podmínka: $\sum a_n < \infty \Rightarrow a_n\rightarrow0$ \\
D'Alambert: $\forall a_n>0: \frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \Rightarrow \\ \sum a_n < \infty$ \\
Limitně: $\forall a_n \ge 0, b_n >0: c:=\lim\limits_{x \rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}$
\begin{enumerate}
\item $0<c<\infty: \sum a_n < \infty \Leftrightarrow \sum b_n < \infty$
\item $c=0: \sum b_n < \infty \Rightarrow \sum a_n < \infty$
\item $c=\infty: \sum b_n = \infty \Rightarrow \sum a_n = \infty$
Cauchy: $\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}\le 1 \Rightarrow \sum a_n < \infty$
$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}\ge 1 \Rightarrow \sum a_n = \infty$\\
Leibnitz (neabsolutní): $a_n\rightarrow 0 \Rightarrow \sum (-1)^{n+1}a_n\le \infty$
\end{enumerate}
 
 
\textbf{Ultimátní goniometrická substituce}
\begin{itemize}
\item $ y=\tan\left(x/2\right) $
\item $ dx=\frac{2dy}{1+y^2} $
\item $ \cos x = \frac{1-y^2}{1+y^2} $
\item $ \sin x = \frac{2y}{1+y^2} $
\end{itemize}
\textbf{Známe integrály}
\begin{align*}
\int\limits_{0}^{\pi}\sin^2x=\frac{\pi}{2}\\
\int u\diff v = uv-\int v \diff u\\
\int \frac{x}{1+x} = x - \log{(1+x)}\\
\int \frac{x}{1-x} = -x - \log{(1-x)}
\end{align*}
\textbf{Tipy na substituci}
\begin{itemize}
\item $ \sqrt{1-x^2} \ldots x=\sin(t)$
\item $ \sqrt{x^2-1} \ldots x=\cosh(t)$
\item $ \sqrt{x^2+1} \ldots x=\sinh(t)$
\end{itemize}
\textbf{Aplikace}
\begin{itemize}
\item délka: $l(\varphi)=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+\ldots}\diff t$
\item plocha: $S=\int\limits_{a}^{b}(g-f)\diff x$
\item objem: $V= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\diff x$
\item povrch: $S= 2\pi \int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\diff x$
\end{itemize}
\textbf{Konvergence}
\begin{align*}
\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^p} K \Leftrightarrow p < 1 \\
\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p} K \Leftrightarrow p < 1
\end{align*}
 
 
\textbf{Více proměnných}\\
Parciální derivace jsou zaměnitelné pouze na spojitém okolí (většinou polynomy)\\
Diferenciál v $a$: $L(h_1,...,h_n)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)h_1+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)h_n$\\
$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{||h||}=0$\\
Tečná nadrovina v $a$: $x_{n+1}=f(a)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)(x_1-a_1)+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)(x_n-a_n)$\\
Směrová derivace: $D_vf(a)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$\\
$
abla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)$ \\
$f: \reals^n\to\reals^m, g: \reals^m\to\reals^s: (g\circ f)'(a)=g'(f(a))\circ f'(a)$\\
\textbf{Tipy na limity}
\begin{itemize}
\item $y = 0$
\item $y = kx \ldots$(často $k=1$)
\item $y = x^2$
\item $y = \frac{1}{x}$
\item převod na pol. souřadnice
\end{itemize}
 
\textbf{Převod na polární souřadnice}
\begin{align*}
\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (a_x, a_y)} f(x,y)\\
\Downarrow \\
x = a_x + r \cdot \cos{\varphi}\\
y = a_y + r \cdot \sin{\varphi}\\
\Downarrow \\
\lim\limits_{r \rightarrow 0} f(a_x + r \cdot \cos{\varphi}, a_y + r \cdot \sin{\varphi})
\end{align*}
 
\textbf{Per partes}
\begin{align*}
\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\\
\int\limits_{a}^{b} f(x)g'(x) = [f(x)g(x)]_{a}^b- \int\limits_{a}^{b} f'(x)g(x)
\end{align*}
 
\textbf{Substituce}
\begin{align*}
\int f(\varphi(x))\varphi'(x) = \int f(x)\\
\int\limits_{a}^{b} f(\varphi(x))\varphi'(x) = \int\limits_{\varphi(a+)}^{\varphi(b-)} f(x)\\
\end{align*}
 
\textbf{Eul. subst. 1. druhu}
\begin{align*}
\int R(x, \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}) \rightarrow y=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\\
\end{align*}
 
\textbf{Eul. subst. 2. druhu}
\begin{align*}
\int \frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}} \rightarrow t+x=\sqrt{ax^2+bx+c}
\end{align*}
 
%TODO: vyřešit formátování, tohle je hnus
$\\\\\\\\$
 
\textbf{Derivace implic. funkcí}
\begin{itemize}
\item vyjádřit vhodnou funkci pomocí zbylých proměnných
\item zderivovat každou stranu zvlášť (a to podle všech zbylých proměnných)
\item postupně vyjádřit derivace
\item popř. zderivovat znovu (z rovnice, ne z vyjádření)
\end{itemize}
 
\textbf{Jednostranná derivace (snad)}
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim\limits_{x_i \rightarrow a_i} f(a_1, \ldots x_i, \ldots a_n)
\end{align*}
 
\textbf{Vázané extrémy}
\begin{align*}
Funkce f(x,y,z); mnozina M\\
M=\{g_1(x,y,z)<1 \ldots g_n(x,y,z)<0\}\\

abla f = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i 
abla g_i
\end{align*}
 
\textbf{Extrémy}
\begin{enumerate}
\item Všechny parciální derivace 1. stupně
\item Stacionnární body (vyřešit soustavu rovnic parciálních derivacích položených nule)
\item Všechny parciální derivace 2. stupně
\item Pro každý stac. bod sestavit Jacobiho matici
\item Otestovat pos. (neg.) definitnost $\rightarrow$ minimum (maximum)
\end{enumerate}
 
\end{multicols}
 
\begin{flushbottom}
 
\begin{center}
Hodně štěstí!\\
© 2013 - Pavel Kalvoda, Petr Bělohlávek\\
MIT license\\
https://gist.github.com/petrbel/4e97f5380438af281aad
\end{center}
\end{flushbottom}
\end{document}
Odpovědět

Zpět na „MAI054 Matematická analýza I“