Fórum studentů MFF UK

Zadání testu zkouškové písemky z 18.1.2011

1) Pro která alfa je an omezená, pro která konvergentní?
an = (-1)^n * arctg(2/(1+n^2)) * (ln(e^n^3 - 2))^alfa
a) alfa = 1/2 b) obecné alfa z R

2) Rozhodněte, zda následující řada konverguje, příp. konverguje absolutně.
SUMA (-1)^n / (nlogn + (-1)^n / n + 17)

3) Rozhodněte ve kterých bodech má funkce derivaci (příp. jednostranné) a spočtěte je.
f(x) = exp{-1/(1-x^2)} pro |x| < 1
f(x) = 0 jinak

4) Vyšetřete průběh následující funkce
f(x) = sinx + |cosx|

mohl bys i postnout nejake reseni

Riešenie aj s komentármi k častým chybám má na svojich stránkach Šámal.

Riešenie je na adrese

http://kam.mff.cuni.cz/~samal/vyuka/MA1 ... aA-res.pdf

Napadlo mě nahrát to přímo sem, pro případ že by to chtělo ze stránek pana Šámala zmizet.
Sepisoval jsem pro spolužáka, jak jsem zhruba řešil první příklad, tak to sem zkopíruju, kdyby se to někomu hodilo..
I)
nejdřív jsem si řek, že spočítám jak se to chová bez toho (-1)^n. Buď a(n) ta kompletní varianta, a b(n) ta ustřihnutá. Potom:
b(n)->0 => a(n)->0
b(n)->R(krom 0) => a(n) osciluje, ale je omezená
b(n)->INF., nebo -INF. => a(n) není omezená, nemá limitu
b(n) nemá limitu => o tom jsem nepřemýšlel a nevyšlo to tam
II)
Nechť alfa = F. Řekl jsem si (asi stačí napsat, že je to podle Heineho), že bez b(n) už můžu brát jako b(x)
atg(---) jde k nule, ln(---)^F jde k INF, pokud F>=1
Pro F>=1 je to tedy typ 0*INF. Zkusil jsem dvě varianty- přehodit INF pod dvojitý zlomek a udělat 0/0, nebo přehodit nulu pod dvojitý zlomek a udělat INF/INF, jedno vyšlo líp, myslím že INF/INF.
To se zlopitalovalo, v té derivaci se něco trošku požralo, ale ne moc. Pak jsem to nějak rozdělil na tři násobící se části (zlomky): Do jedné jsem dal nějaké konstanty a F, které se tam při derivování vyseparovalo, do druhé jsem dal e^(něco)/e^(něco) (jde ke konstantě), a v třetí zbylo něco jako ln(e^x^3-2)^(F-1)/(nějaký polynom) [možná tam bylo F+1]. Té -2 v ln jsem se zbavil policajtem, a bylo z toho x^(3(F+-1)), dole byl polynom stupně 5. Přesně si ty finální partie nepamatuju, ale dle Šámala tady zřejmě vyšlo že pro každé F (>=1), bude exponent u x větší než 5, čili to jde k INF.
III)
Pro F<1 to ln(---)^F jde k nule, takže se to před lopitalováním jinak přeházelo, ale vyšly tam podobné zjevy, myslím že se to celé udělalo dost analogicky. Jen na konci z toho vyšlo najevo že pro F=2/3 to jde ke konstantě (vyjde ln(e^x^3+2)^(5/3)/(polynom stupně 5)), pro větší k INF, a pro menší k 0.
Možná tam jsou nepřesnosti nebo blbosti, ale postup byl zhruba takovýhle.
Ještě ke čtvrtému příkladu.. mohu potvrdit Henclova slova že derivovat abs(x) na sgn(x) opravdu není nic pro začátečníky a je lepší se tomu vyhnout

Vojta