Chyba definice derivace

Kurz matematické analýzy pro studenty prvního ročníku informatiky, který obsahuje základy diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné (limita, spojitost, derivace, Taylorovy polynomy), číselné posloupnosti a řady, primitivní funkce.
Uživatelský avatar
tutchek
Site Admin
Příspěvky: 795
Registrován: 21. 9. 2004 00:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Bydliště: Praha, Bohnice
Kontaktovat uživatele:

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od tutchek »

Vazeny bobanku (jakkoliv to zni pejorativne, toto jmeno jste si zvolil), to ze posloupnost an -> 0 neznamena, ze se tam nekdy ta nula musi vyskytnout, staci z definice, ze pro kazde epsilon > 0 najdete n0 takove, ze pro kazde n > n0 plati, ze |an - 0| = |an| < epsilon.

Definice limity funkce f v bode x0: lim(x->x0) f(x) = A, ma navic deltu, tzn pro kazde epsilon > 0 existuje delta takova, ze pro kazde x z P(x0, delta) najdete takove f(x), ze |f(x) - A| < epsilon

Tolik k okrasnym definicim.

Ted, rozporujete, ze lim(h->0) 0/h = 0.

Mame tedy funkci f(h) = 0/h. Jak jste spravne poznamenal, tato funkce neni v 0 definovana, protoze bychom delili nulou. Ovsem existuje tam jeji prstencove okoli. To je dle definice P(A,delta) = (A - delta, A + delta) \ {0}. Na tomto okoli musim byt schopen dokazat, ze je definice splnena - pokud ano pak lim(h->0) 0 / h = 0.

Zvolime klasickou pomucku s nepritelem. Nepritel nam tedy streli epsilon. Necham si ho jako pismenko, precijenom mohl strelit cokoliv > 0. Mym ukolem je nyni najit delta takove, aby definice byla splnena. Chci, aby platilo |0 / h| < epsilon pro kazde delta, ktere si vymyslim... no v nasem pripade je to jednoduche... necht je ta delta treba vzdy 1. Pak plati, ze pro kazde cislo h ze sjednoceni intervalu (0 - 1, 0) U (0 , 0+1) = (-1,0) U (0, 1) = (-1,1) \ {0} = P(0, 1) plati, ze 0/h = 0 [jak vidite, h neni nikdy nula, ten zlomek je tedy dobre definovan].

0 vzdy bude mensi nez libovolne zvolene epsilon. Tedy limita je spoctena dobre.

QED
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
Uživatelský avatar
tutchek
Site Admin
Příspěvky: 795
Registrován: 21. 9. 2004 00:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Bydliště: Praha, Bohnice
Kontaktovat uživatele:

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od tutchek »

Jinak abych nebyl moc nespravedivy, obecne neplati, ze (jde k nule) / (jde k nule) ma limitu 0. Obecne je nutne brat tento typ vyrazu jako "podezrely a nebezpecny". My jsme si to dokazali z definice, tzn mame pravdu. Ale pokud bychom se tim nechali zmast a zapamatovali si z toho jen ono (->0)/(->0) = 0, mohli bychom se dostat do problemu uz pri pocitani limity

lim(x->0) x/x, protoze kazdy prvek teto posloupnosti ma hodnotu 1 a nikoliv 0, limita take vyjde 1.

Zde se hodi trocha podezrivavosti i k vete o aritmetice limit:

lim(x->0) x/x = [lim(x->0) 1/x][lim(x->0) x] = nekonecno * 0 [coz neni zcela korektni]

Zaver: spocitat to z definice vede k vysledku, casto ale zbytecne narocne. Muzeme si pomoct napr VOAL s vyuzitim znamych hodnot limit po ceste, ale v tom okamziku se musime neustale presvedcovat, zda jsme si tam nezavedli blbost.

----------------
Jste nyni zcela spokojen nebo je tam jeste neco co vam neni jasne?
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
Pitr2311
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 53
Registrován: 3. 9. 2009 17:54
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od Pitr2311 »

tutchek píše:...P(A,delta) = (A - delta, A + delta) \ {0}...
tu by som si dovolil to trochu opravit (hoci sa jedna pravepodobne len o preklep :wink: ):
P(A, delta) = (A - delta, A + delta) \ {A}
Pitr2311
Uživatelský avatar
tutchek
Site Admin
Příspěvky: 795
Registrován: 21. 9. 2004 00:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Bydliště: Praha, Bohnice
Kontaktovat uživatele:

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od tutchek »

Samozrejme, mas pravdu, jde o preklep, v zapalu boje okolo nuly :D
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
bobánek
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 14
Registrován: 9. 7. 2009 16:20
Typ studia: Nestuduji MFF UK

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od bobánek »

Vážení přátelé!

Já jsem nerozporoval, že neplatí lim(h->0) 0/h = 0, ale to, že v knize pana prof. Jarníka je dané tvrzení uvedeno v definici, aniž by jej předtím v knize dokázal, jako jste se o to pokusil Vy, pane Tutchek (Možná, že jsem je přehlédl i to je možné).

Každá diskuse má mít nějaký výsledek, tato má. Jedním z tradičních omylů, kterých jsme se dopustili je např.to, že se jeden z Vašich kolegů pokusil použít L' Hospitalovo pravidlo v definici derivace (pak by šlo o definici kruhem).

Knihu pana prof. Jarníka jsem uvedl v dotazu a předpokládal jsem, že není tak docela Vám neznámá.

Poznámka na závěr: Mám od přednášek matematické anylýzy 29 let odstup, proto jsem se zeptal na Vašem fóru, kde jsem se dobral odpovědi až v předposledním příspěvku. To že mi někdo zopakuje definici a tváří se jako majitel Zeměkoule není v matematice argument do diskuse. Překvapilo mě i to, že někteří budoucí učitelé nechtějí "doučovat", pak by měli ale uvážit, zda jsou na správné škole.

A jeden dovětek: "Osobní urážky, pochyby o tom, zda kolega v diskuzi má na, aby absolvoval vysokoškolskou matematiku do prváku nepatří!"

bobánek
Pitr2311
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 53
Registrován: 3. 9. 2009 17:54
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od Pitr2311 »

Dovolim si este aj ja reagovat.
bobánek píše:Každá diskuse má mít nějaký výsledek, tato má. Jedním z tradičních omylů, kterých jsme se dopustili je např.to, že se jeden z Vašich kolegů pokusil použít L' Hospitalovo pravidlo v definici derivace (pak by šlo o definici kruhem).
Predpokladam, ze ta cast s l'Hospitalovym pravidlom sa tykala hlavne mojho sposobu dokazovania, kedze nikto iny to v tomto fore nespomenul. Tuto moznost som uviedol ako druhu v poradi, ako prva bol dokaz z definicie limity, akurat nebol dotiahnuty do takych podrobnosti, ako to neskor uviedol Tutchek. Moznost riesit danu limitu aj za pomoci spominaneho pravidla som uviedol, pretoze pri Vasej prvotnej otazke som prehliadol, ze sa jedna o definiciu derivacie. Za svoju nepozornost sa ospravedlnujem.
bobánek píše:Knihu pana prof. Jarníka jsem uvedl v dotazu a předpokládal jsem, že není tak docela Vám neznámá.
Myslim, ze knihy pana prof. Jarnika su takmer kazdemu studentovi na tejto fakulte zname (minimalne o nich kazdy pocul), ale v sucasnosti by som si dovolil tvrdit, ze malokto otvoril aspon jednu z jeho knih. Na dnesnych prednaskach sa uz z nich bohuzial neprednasa.
bobánek píše:Poznámka na závěr: Mám od přednášek matematické anylýzy 29 let odstup, proto jsem se zeptal na Vašem fóru, kde jsem se dobral odpovědi až v předposledním příspěvku. To že mi někdo zopakuje definici a tváří se jako majitel Zeměkoule není v matematice argument do diskuse.
Tento pristup moze byt ciastocne sposobeny stylom prednasok a cviceni na fakulte, ked mnohokrat sa nechava na studentovi, aby si dopodrobna dokazal niektore fakty. Casto sa stane, ze na prednaske su len hlavne kroky dokazu, podrobnosti sa maju doriesit doma, pripadne na cviceniach, preto sme asi viaceri predpokladali za dostatocne uviest definiciu, pripadne nacrtnut dokaz. Myslim, ze tu doslo k nedorozumeniu ciastocne na oboch stranach, pokial by ste napisali, ze si zelate vidiet kompletny dokaz krok za krokom, urcite by sa tu objavil podstatne skor :wink:
bobánek píše:Překvapilo mě i to, že někteří budoucí učitelé nechtějí "doučovat", pak by měli ale uvážit, zda jsou na správné škole.
K tomuto mozem napisat asi len tolko, ze tato diskusia sa nachadza v casti Informatika > 1. rocnik ZS > Matematicka analyza I, teda hlavne ho citaju studenti z programu "Informatika" nie programu "Ucitelstvi", takze malo z tychto ludi ma zaujem sa stat ucitelom.
bobánek píše:A jeden dovětek: "Osobní urážky, pochyby o tom, zda kolega v diskuzi má na, aby absolvoval vysokoškolskou matematiku do prváku nepatří!"
S tymto s Vami uplne suhlasim, urazky nie su vhodne vo "fakultnej" diskusii, ak toto forum tak mozem nazvat. Predpokladam, ze ich pouzitie suviselo s miernym nepochopenim, ako som uz pisal vyssie, a tiez s nie velkou ochotou dotycneho cloveka doucovat. Tymto sa nechcem nikoho dotknut.
Zelam Vam vela uspechov v matematike aj mimo nej, v pripade dalsich nejasnosti sa sem mozete opatovne obratit a pokusime sa Vam co najlepsie poradit. Snad sa vsetci poucime na chybach a zabrani sa tym dalsim nedorozumeniam. :)

Pitr2311
Pitr2311
Uživatelský avatar
tutchek
Site Admin
Příspěvky: 795
Registrován: 21. 9. 2004 00:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Bydliště: Praha, Bohnice
Kontaktovat uživatele:

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od tutchek »

Nutno poznamenat, ze "Jarnik" by mel neporovnatelne vyssi pocet stran, pokud by chtel neustale dokazovat, ze dany zjevny fakt plati. Je na laskavem ctenari, aby tvrzeni overoval, pokud si jimi neni jisty, pokud mu nedavaji smysl apod. U slozitejsich tvrzeni je dukaz primo v knize. Ovsem nemuzete prece ocekavat, ze vam tam napr. i dokaze ze 2 + 2 jsou 4 (jakkoliv to neni problem dokazat vyuzitim poznatku elementarni logiky). Vysledkem prozkoumani daneho tvrzeni muze byt, ze naleznete chybu. V tom pripade je upozorneni na chybu v poradku. To ale neni nas pripad.

Jak zde bylo zmineno, ucitelu na MFF studuje minimum, vetsina z nas co tam studujeme, studuje "odbornou" stranku dane veci (jakkoliv to napr. u ucitelstvi informatiky znamena vystudovat odbornou informatiku a pet predmetu navic a pritom dostat razitko "ucitel").
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
bobánek
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 14
Registrován: 9. 7. 2009 16:20
Typ studia: Nestuduji MFF UK

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od bobánek »

Na závěr jediná notička!

Ať chcete nebo nechcete, tak Vás "výuka" stejně jednou nemine. Budete učit své "zaostalé" kolegy na pracovišti; Je to dáno mimo jiné tím, že vysoškolské znalosti a dovednosti mají určitý poločas rozpadu (asi 5 let). Vaši potomci, kterým se jistě jednou budete s láskou věnovat, Vás často také dovedou k úžasu nad stavem našeho školství; a tak Vám nezbude stát se suplery-pedagogy v jedné osobě.
Jiri Spurny

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od Jiri Spurny »

Mili pratele,

v Jarnikovi D1 na strane 212, $2, je derivace konstantni funkce uvedena jako veta (uvozujici fraze je "Pocitani derivaci") a nasleduje dukaz z definice (samozrejme spravny). Zda se mi tedy, ze diskuze o chybe v Jarnikovi mohla byt vyresena i drive...

Jinak se Jarnik na MFF v soucasnosti stale pro radu dukazovych technik ci usporadani latky pouziva, ale uz se podle nej neprednasi striktne.

Preji mnoho zdaru, Jiri Spurny
bobánek
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 14
Registrován: 9. 7. 2009 16:20
Typ studia: Nestuduji MFF UK

Re: Chyba definice derivace - uzávěra

Příspěvek od bobánek »

Nespolečensky neunavený profesor na matematicko-fyzikální fakultě seznamuje studenty v prvním semestru s pomocnou větou: „V každém otevřeném okolí bodové množiny v komplexním tělese leží nekonečně mnoho komplexních bodových množin. Jestliže rádius n-rozměrného kulového okolí n-rozměrné bodové množiny konverguje k nule zprava, tak počet bodových množin v tomto okolí také konverguje. Jako cvičení vyslovte analogon věty v záporně metrickém prostoru.“ Na to zaereaguje přihlížející asistent: „Pane profesore, zapomněl jste si vzít lithium!“ Profesor se nevraživě zadívá na asistenta, a pak odvětí: „Zvolte dvě libovolné n-rozměrné bodové množiny s otevřeným kulovým okolím a hledejte pozitivní, pro pana asistenta říkám kladné, okolí druhé bodové množiny tak, že a necháte obě bodové množiny vzdalovat nade všechny meze. Nebo naopak, teď nevím, najděte si to na Internetu!“
Uživatelský avatar
tutchek
Site Admin
Příspěvky: 795
Registrován: 21. 9. 2004 00:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Bydliště: Praha, Bohnice
Kontaktovat uživatele:

Re: Chyba definice derivace

Příspěvek od tutchek »

A protoze se nase abstraktni debata posunula do alespon pro me nepochopitelnych rovin, tema zamykam,
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
Zamčeno

Zpět na „MAI054 Matematická analýza I“