Hladík 10.2.2011 - B

Základy lineární algebry (vektorové prostory, lineární zobrazení, řešení soustav lineárních rovnic, matice).

Hladík 10.2.2011 - B

Příspěvekod Alesak » 10. 2. 2011 16:03

1. Definujte pojem jádro matice

Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice

2. A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & -3\\1 & 2 & 2 & 1\\2 & 7 &6&7\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & 1\\2 & 2 & -3 & 0\\1 & 5 &-5&-1\end{array}\right)

Rozhodněte, zda Ker(A^{T}) = R (B^{T})
Rozhodněte, zda Ker(B) = R (A)

3. Máme polynomy v_{1} = x^{2} + x - 2, v_{2} = -2x^{2} + 3, v_{3} = 2x^{2} + x. Uvažujme dvě lineární zobrazení f,g: P^{2} \to R^{3} zadaná:
f(v_{1})=(1,0,0)^{T}
f(v_{2})=(0,1,0)^{T}
f(v_{3})=(0,0,1)^{T}

g(v_{1})=(1,2,3)^{T}
g(v_{2})=(1,-2,1)^{T}
g(v_{3})=(2,3,1)^{T}

Spočítejte matici [ g \circ f^{-1} ]_{kan \to B} kde B je báze skládající se z vektorů (1,1,-2)^{T}, (-2,0,3)^{T}, (2,1,0)^{T}.

Rozhodněte, zda g \circ f^{-1} zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:

a) Buď A dolní trojůhelníková matice. Pak A^{T}A je zase dolní trojúhelníková matice.

b) Každou permutaci na n prvcích lze zapsat jako složení maximálně n - 1 transpozic.

c) Buď A \in R^{m \times n}. Pak rank(A) = m \Leftrightarrow Ker(A) = {0}

d) Lineární zobrazení f : U \to V je "na", právě tehdy když libovolnou bázi U zobrazí na bázi V
Alesak
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 15
Registrován: 9. 2. 2011 11:27
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Hladík 10.2.2011 - B

Příspěvekod Alesak » 10. 2. 2011 16:04

Nenapsal jsem to, měl jsem dost problémů... nemohl byste sem někdo v rámci tréninku vrazit řešení 3. příkladu?
Alesak
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 15
Registrován: 9. 2. 2011 11:27
Typ studia: Informatika Bc.


Zpět na MAI057 Lineární algebra I

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník