Hladik 3.2.2011
Napsal: 3. 2. 2011 14:59
Varianta A:
1.) (8 bodu) Zformulujte a dokazte Steinitzovu vetu o vymene.
2.) (6 bodu) Rozhodnete zda nasledujici dva prostory jsou isomorfni:
- prostor relalnych matic 3 x 3 takovych, jejichz vsechny radky i sloupce maji nulovy soucet prvku
- prostor polynomu p(x) nalezici P5 splnujicich p(x)=p(-x).
3.) (2+4 body) Dokazte, ze linearni zobrazeni zobrazuje primku zase na primku nebo na bod.
Najdete obraz primky zadane bodem x = (1, 6, -4)T a smernici y = (7, 13, 9)T pri zobrazeni f: R3 --> R3 zadanem matici vzhledem k bazi B a kanonicke
kan[f]B =
(5 -2 1
3 0 4
1 -3 2)
a bazi B: (3, 2, -1)T, (-1, 4, 2)T, (2, 1, 2)T.
4.) (kazdy za 2 body) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva:
a) V (realne) soustave dvanacti rovnic o osmi neznamych jsou alespon ctyri rovnice redundantni.
b) Vynasobime-li i-ty radek regularni matice A cislem alfa != 0, pak jeji inverzni matice vznikne z A-1 vydelenim i-teho radku cislem alfa.
c) Bud V vektorovy prostor nad T a u, v nalezi V. Pak span{u, v} = span{u, v+alfa*u} pro kazde alfa nalezici T.
d) Bud V konecne generovany vektorovy prostor a f: V --> V linearni zobrazeni. Pak f je isomorfismus prave tehdy kdyz je "na".
1.) (8 bodu) Zformulujte a dokazte Steinitzovu vetu o vymene.
2.) (6 bodu) Rozhodnete zda nasledujici dva prostory jsou isomorfni:
- prostor relalnych matic 3 x 3 takovych, jejichz vsechny radky i sloupce maji nulovy soucet prvku
- prostor polynomu p(x) nalezici P5 splnujicich p(x)=p(-x).
3.) (2+4 body) Dokazte, ze linearni zobrazeni zobrazuje primku zase na primku nebo na bod.
Najdete obraz primky zadane bodem x = (1, 6, -4)T a smernici y = (7, 13, 9)T pri zobrazeni f: R3 --> R3 zadanem matici vzhledem k bazi B a kanonicke
kan[f]B =
(5 -2 1
3 0 4
1 -3 2)
a bazi B: (3, 2, -1)T, (-1, 4, 2)T, (2, 1, 2)T.
4.) (kazdy za 2 body) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva:
a) V (realne) soustave dvanacti rovnic o osmi neznamych jsou alespon ctyri rovnice redundantni.
b) Vynasobime-li i-ty radek regularni matice A cislem alfa != 0, pak jeji inverzni matice vznikne z A-1 vydelenim i-teho radku cislem alfa.
c) Bud V vektorovy prostor nad T a u, v nalezi V. Pak span{u, v} = span{u, v+alfa*u} pro kazde alfa nalezici T.
d) Bud V konecne generovany vektorovy prostor a f: V --> V linearni zobrazeni. Pak f je isomorfismus prave tehdy kdyz je "na".