Hladík 28.01.2010

Základy lineární algebry (vektorové prostory, lineární zobrazení, řešení soustav lineárních rovnic, matice).
John Beak
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 9
Registrován: 29. 10. 2009 20:59
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Hladík 28.01.2010

Příspěvek od John Beak »

Přiblížné zadání dle mé paměti:

1) zadány dva vektory, které se měly doplnit na bázi B tak, aby
zadaná matice lineárního zobrazení z B do kanonické báze
zobrazila z R3->R3 zadaný vektor na zadaný vektor

2) zadané dvě soustavy rovnic typu Ax=0 na Z5, za úkol zjistit, zda-li mají stejnou množinu řešení

3) zformulujte Cauchy-Schwarzovu nerovnost a dokažte

4) tvrzení ano/ne:
(nepamatuju)


Doplním to, až budu mít písemku v ruce. Přišlo mi to mnohem lehčí, než na předtermínu, ale přesto je riziko, že to nenapíšu. Holt ráno s má spát a ne psát ;)
Trolling is a art.
Design Your Universe
IcyTower.cz
John Beak's Website
adamo

Re: Hladík 28.01.2010

Příspěvek od adamo »

Moja verzia

1 doplnte vektory (2,1,1), (1,0,2) an bazi B prostoru R3 tak aby linearni zobrrazeni f: R3->R3 definovane

B[F]kan=
2 1 4
-1 2 3
3 -2 -1

splnovalo (1,1,1) parti Ker(F)

2. Uvazujme 2 podprostory prostoru Z74 definovane

U=span{(4 4 4 2),(2 5 1 1), (2 6 3 1)}
V=span{(1 2 3 4),(2 0 5 1)}
rozhodnite zda U=V

3 Sformulujte Gram-schmidtovu ortogonalizacnu metodu a dokazte jeji spravnost

4. (Ano/nie) + dovod
a) Bud A horni troujehlnikova ctevrcova matice, tj aaj=0 pro i>j. Par A2 je zase troujehlnikova matice
b) Bud A parti Rmxn b parti Rm. Mnozina reseni soustavy Ax=b je rovna mnozine reseni soustavy BAx=Bb pro kazdou ctvercovou matici B parti Rmxm
C) Bud U podprostor V a u,v patri V\U. potom nikdy nenastane u+v patri U
d) Bud f U->V linearni zobrazeni a dim(U)>dim(V) potom jadro Ker(f) obsahuje aspon 1 nenulovy vektor
ostan
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 6
Registrován: 28. 1. 2010 14:36
Typ studia: Informatika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Re: Hladík 28.01.2010

Příspěvek od ostan »

Tak já to zadání doplním za tebe :)

Zkouška Lineární algebra I, 28.1.2010 A
1. Doplňte vektory (2,1,1)T, (1,0,2)T na bázi B prostoru R3 tak aby lineární zobrazení f: R3 -> R3 definované
B[f]kan =
1, 2, 3
-1, 0, -6
1, 3, 6
splňovalo f((3,2,1)T) = (3,4,2)T
6 bodů

2. Nad tělesem Z5 uvažujeme soustavu rovnic
4x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = x1 + 2x3 + 3x4 = 0
a
4x1 + x2 + 4x3 + 2x4 = x2 - x3 = 0.
Rozhodněte, zda množiny řešení obou soustav jsou stejné či nikoliv.
6 bodů

3. Zformulujte a dokažte Cauchy-Schwarzovu nerovnost (pro prostory nad R)
8 bodů

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
(a) Buď A horní trojúhelníková matice, tj. aij = 0 pro i > j. Pak ATA je zase horní trojúhelníková matice
(b) Buď A z Rm x n, B z Rm x m, b z Rm. Potom každé řešení soustavy Ax = b je také řešením soustavy BAx = Bb pouze pokud B je regulární matice.
(c) Buď U podprostor V a v \in V \ U a \alpha skalár. Potom nikdy nenastane \alpha v \in U
(d) Buď f : U -> V lineární zobrazení a u,v \in U dva různé vektory. Pokud f(u) = f(v), pak Ker(f) má dimenzi alespoň jedna.
(každé za dva body)

Na jedničku bylo potřeba aspoň 21 bodů.
m9ra

Re: Hladík 28.01.2010

Příspěvek od m9ra »

Nenašla by se tu dobrá duše, která by dala radu jak si poradit s příkladem číslo 1? Není mi jasné jak si mám přebrat toto:
..splňovalo f((3,2,1)T) = (3,4,2)T...

Vektor (3,2,1)T je myšelno vůči bázy B? Pokud ano, tak se mi numericky nepodařilo dopočítat k nějakému výsledku
Pokud je 321 myšleno ke kanonické bázy, tak ale nevím jak by mohl výběr 3tího vektoru do báze ovlivnit výsledek tohoto zobrazení.

Děkuji za každý podnět k řešení
kolage

Re: Hladík 28.01.2010

Příspěvek od kolage »

K příkladu 1...

Já jsem to řešil takto, ale nevím jestli správně...

Vzal jsem nejdřív jako bázi B vektory (2,1,1), (1,0,2) a (3,2,1) (jsou l.n.), dal jsem je do matice a vypočítal inverzi, abych zjistil B[id]kan a mohl tak vypočítat kan[f]kan ...

kan[f]kan = ((-4, 6, 3), (8, -13, -4), (-11, 16, 7)) (po řádcích)

f((2,1,1)) = (1,-1,1), f((1,0,2)) = (2,0,3), f((3,2,1)) = (3,-6,6), a my potřebujeme vektor který se zobrazí do (3,4,2), tedy x(-4,8,-11) + y(6,-13,16) + z(3,-4,7) = (3,4,2) ...

Hodil jsem to do matice a vypadl mi vektor (3,0,5). Ale nevím jestli je to správně no :( ... Když tento vektor projedu matici zobrazení, zobrazí se na (3,4,2).
Odpovědět

Zpět na „MAI057 Lineární algebra I“