dim(S(A))=dim(R(A))

Základy lineární algebry (vektorové prostory, lineární zobrazení, řešení soustav lineárních rovnic, matice).

dim(S(A))=dim(R(A))

Příspěvekod ghost » 16. 2. 2009 11:55

ahoj, myslite ze byste sem mohl nekdo napsat tenhle dukaz?
nezda se mi uplne trivialni, ve vsech poznamkach co mam je tam preskoceny nejaky krok, budu vam vdecny :)
ghost
 

Re: dim(S(A))=dim(R(A))

Příspěvekod geckon » 16. 2. 2009 14:01

Čau,

pokud víš, jak dokázat, že bázi R(A) tvoří prvních r řádků RREF(A) a že bázi S(A) tvoří bázické sloupce A, tak z toho vyplývá, že velikost obou bází je r (hodnost A). Stačí takto?
"Neberte život tak vážně, stejně z něj nevyváznete živí."
geckon
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 10
Registrován: 22. 1. 2009 23:05
Typ studia: Informatika Bc.

Re: dim(S(A))=dim(R(A))

Příspěvekod sZtorkie » 16. 2. 2009 17:20

Dukaz ma nekolik casti, zkusim nejak jednoduse shrnout, o co tam jde (kdyztak me opravte):
1) prevest matici A do odstupnovaneho tvaru A'
2) dim S(A) = dim S(A'):
- A' = RA - vezmeme vektory w' z S(A') a w z S(A); ukazeme, ze w' = Rw (par kroku)
- vyjadrime w vuci nejake bazi S(A) (v1,...,vd) - suma pujde od 1 do d = dim S(A); ukazeme, ze kdyz w' = Rw, tak po rozepsani w jde dat R do sumy a vyjde nam system generatoru S(A') (v'1,...,v'd) - tato suma jde taky od 1 do d, z cehoz plyne, ze dim S(A') <= dim S(A)
- to same bychom meli ukazat i opacne, aby byla videt rovnost (v podstate pouze preznaceni carek) - protoze A = R^(-1)*A'
3) dim S(A') = dim R(A'):
- obrazkem - sloupce s pivoty tvori bazi S(A'), nenulove radky bazi R(A'); libovolny vektor z S(A') dokazu prepsat jako linearni kombinaci podle pivotu
4) dim R(A) = dim R(A'):
- elementarni operace nemeni R() -> staci najit A' v odst. tvaru; nenulove radky v ni tvori bazi R(A') a je jich presne rank(A) (z definice hodnosti + pozorovani u dukazu, ze ekvivalentni upravy nemeni mnozinu reseni)

takze dim S(A) = dim S(A') = dim R(A') = dim R(A) = rank (A)
sZtorkie
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 6
Registrován: 28. 1. 2009 10:32
Typ studia: Informatika Bc.


Zpět na MAI057 Lineární algebra I

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 2 návštevníků