Hladik 10.2.
Napsal: 10. 2. 2009 22:39
Varianta B
1. Uvažujme báze prostoru R3
B1: (2,1,1) , (3,2,3) , (4,3,6)
B2: (1,2,1) , (-1,0,3) , (1,-2,1),
a lineární zobrazení f: R3 -> R3 definované maticí
B1[f]B2 = ( 2 2 3 , -1 5 6 , 3 1 2)
Najděte ortogonální doplněk k f(R3).
2. Zformulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.
3. Nad tělesem Z7 uvažujme dva prostory U, V:
U = { x náleží Z73 | x1 + x2 + x3 = 0 },
V = [ (2,3,5) , (5,1,0) ].
Najděte bázi prostoru U + V a prostoru U průnik V.
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
(a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že A2 = 0 implikuje S(A) je podmnožina N(A).
(b) To, že vektory u,v,w tvoří bázi prostoru V je podmínka nutná, ale ne postačující pro to, aby to byly generátory V.
(c) Buď f: Rn -> Rn lineární zobrazení, jehož matice (vůci kanonické bázi) má hodnost n. Potom f je prosté.
(d) Existují čísla x,y,u,v náleží R taková, že (4x + 5y + 2u + 2v) > 7 * sqrt( x2 + y2 + u2 + v2).
Řekl bych, že docela těžký, podle toho taky vypadaly známky po písemce - 13 x 5, 3 x 4, 3 x 3.
BTW neptali jste se někdo Hladíka, jestli nebude nějakej termín v letnim semestru nebo v září?
1. Uvažujme báze prostoru R3
B1: (2,1,1) , (3,2,3) , (4,3,6)
B2: (1,2,1) , (-1,0,3) , (1,-2,1),
a lineární zobrazení f: R3 -> R3 definované maticí
B1[f]B2 = ( 2 2 3 , -1 5 6 , 3 1 2)
Najděte ortogonální doplněk k f(R3).
2. Zformulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.
3. Nad tělesem Z7 uvažujme dva prostory U, V:
U = { x náleží Z73 | x1 + x2 + x3 = 0 },
V = [ (2,3,5) , (5,1,0) ].
Najděte bázi prostoru U + V a prostoru U průnik V.
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
(a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že A2 = 0 implikuje S(A) je podmnožina N(A).
(b) To, že vektory u,v,w tvoří bázi prostoru V je podmínka nutná, ale ne postačující pro to, aby to byly generátory V.
(c) Buď f: Rn -> Rn lineární zobrazení, jehož matice (vůci kanonické bázi) má hodnost n. Potom f je prosté.
(d) Existují čísla x,y,u,v náleží R taková, že (4x + 5y + 2u + 2v) > 7 * sqrt( x2 + y2 + u2 + v2).
Řekl bych, že docela těžký, podle toho taky vypadaly známky po písemce - 13 x 5, 3 x 4, 3 x 3.
BTW neptali jste se někdo Hladíka, jestli nebude nějakej termín v letnim semestru nebo v září?