26. 1. 2017 - Hladík

Základy lineární algebry (vektorové prostory, lineární zobrazení, řešení soustav lineárních rovnic, matice).

26. 1. 2017 - Hladík

Příspěvekod Sejsel » 28. 1. 2017 15:05

Byly alespoň dvě varianty, všechny otázky se lišily, ale byly principem podobné. Proto píšu jenom otázku 1 v obou variantách.

1. (varianta A)
Definujte pojem regulární matice (1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o matici složeného lineárního zobrazení. (7 bodů)

1. (varianta B)
Definujte pojem znaménko permutace. (1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení. (7 bodů)

2. (varianta B)
Buď
$A = \begin{pmatrix} 2 + 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1  & -2 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Nad kterým tělesem typu $\mathbb{Z}_p, p \geq 3$, platí $(1, 1, 1)^T \in \text{Ker}(A^3)$ %ideálně by se tu použil DeclareMathOperator, ale...? (3 body)
b) Nad kterým tělesem typu $\mathbb{Z}_p, p \geq 3$, platí $(1, 2, 1)^T \in \text{Ker}(A^T) \cap \mathcal{R}(A^{88})$? (3 body)

3. (varianta B)
Najděte dva různé vektory $x, y \in \mathbb{R}^3$ takové, že $f(x) = f(y) = (0, -1, 2)^T$ při lineárním zobrazení $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definovaném maticí
${}_{kan}[f]_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
a bází
$ B = \{(4, 4, 2)^T, (2, 1, 1)^T, (3, 2, 1)^T\}$. (6 bodů)

4. (varianta B)
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: (4x 2 body)
a) Buď $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ a buď $b, c \in \mathbb{R}^n$. Soustava $Ax = b$ má jediné řešení právě tehdy, když soustava $Ax = c$ má jediné řešení.
b) Je-li součin $AB$ čtvercová matice a $ABAB$ také, potom obě matice $A$ a $B$ musí být rovněž čtvercové.
c) Buďte $U, V, W$ podprostory nějakého vektorového prostoru. Pak $U \cap (V + W) \supseteq (U  \cap V) + (U \cap W)$.
d) Prostory $\mathcal{S} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} a $\{(a + b, a - b, 2a - 3b)^T \in \mathbb{R}^3; a, b \in \mathbb{R} \}$ jsou isomorfní.
Sejsel
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 3
Registrován: 28. 1. 2017 14:24
Typ studia: Informatika Bc.

Re: 26. 1. 2017 - Hladík

Příspěvekod Speedding » 29. 1. 2017 19:46

Proč se mi zdá, že ty Hladíkovy písemky jsou vždycky strašně hardcore? :D
Jak se má řešit ta dvojka? Hlavně by mě zajímalo to b-čko ...

PS: Jsem rád, že chodím k Pangrácovi :D
Speedding
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 31
Registrován: 10. 1. 2017 19:32
Typ studia: Informatika Bc.
Login do SIS: riedell

Re: 26. 1. 2017 - Hladík

Příspěvekod Sejsel » 7. 2. 2017 02:59

Písemky jsou sice docela těžké, ale to, že se písemka nepovede zas tak dobře ještě nic neznamená. Z písemky jsem měl "horší dvojku", ale celkově jsem měl zkoušku za 1.

Hint k 2b - Pokud ten vektor nepatří do $Ker(A^T)$, tak nemá smysl řešit $\mathcal{R}(A^{88})$
Sejsel
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 3
Registrován: 28. 1. 2017 14:24
Typ studia: Informatika Bc.


Zpět na MAI057 Lineární algebra I

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník

cron