1. (6 bodů) Popište uzávěr množiny X v euklidovské rovině ,
Odpověď zdůvodněte.
2. (6 bodů)
(a) Vysvětlete typy konvergence posloupností a řad funkcí.
(b) Ano nebo ne: když posloupnost reálných funkcí konverguje stejnoměrně na množině A a konverguje stejnoměrně na množině B, potom konverguje stejnoměrně i na jejich sjednocení .
(c) Ano nebo ne: posloupnost funkcí
konverguje stejnoměrně na množině .
Odpovědi zdůvodněte.
3. (6 bodů)
(a) Uveďte (bez důkazu) výsledky o mocninných řadách v reálném oboru.
(b) Rozhodněte, zda funkce
je na intervalu (0,1) rostoucí nebo klesající nebo není ani jedno z toho.
Odpověď zdůvodněte.
4. (6 bodů) Uvěďte a dokažte Banachovu větu o pevném bodu.
Teorie se zde sešla docela pěkná. Ale dohromady toho bylo docela hodně, především těch příkladů, které člověk musí rozmyslet. Mé ideje:
1.
2.
(b) ANO (Vyjde z definic stejnoměrné konvergence.)
(c) NE (Jako "kazibody" lze vzít např. . Jelikož (pro lib. pevné x a n jdoucí do nekonečna), tak , tedy můžeme vzít , že nekonverguje stejnoměrně.)
Zkouška 27.1.2010
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 20
- Registrován: 26. 1. 2010 14:28
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Bydliště: Praha
Zkouška 27.1.2010
Naposledy upravil(a) Acris dne 2. 2. 2010 20:12, celkem upraveno 2 x.
Re: Zkouška 27.1.2010
2 (b) Sice som nevedel, ako to ma byt (myslim skor, ze to ma byt ANO), ale nezda sa mi odpoved "NE", ktoru si takto zdovodnil. Resp. chcel by som to pochopit. Ty si ukazal, ze to nekonverguje na nejakom otvorenom intervale (oznacme ho C) . Ale... neviem si predstavit, nejake dva intervaly, A a B, pre ktore A U B = C , pricom funkcia konverguje stejnomerne na oboch intervaloch ale nie na C. Mozes mi to prosim objasnit?
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 20
- Registrován: 26. 1. 2010 14:28
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Bydliště: Praha
Re: Zkouška 27.1.2010
Omlouvám se. Posunulo se mi číslování (již je to opraveno), jelikož (a) jsou definice konvergence, které mi přišlo zbytečné uvádět (bodová, stejnoměrná a lokální stejnoměrná konvergence pro funkce i řady). A proto 2 (b) má odpověď opravdu ANO. Plyne to přímo z definic stejnoměrné konvergnece:GR píše:2 (b) Sice som nevedel, ako to ma byt (myslim skor, ze to ma byt ANO), ale nezda sa mi odpoved "NE", ktoru si takto zdovodnil. Resp. chcel by som to pochopit. Ty si ukazal, ze to nekonverguje na nejakom otvorenom intervale (oznacme ho C) . Ale... neviem si predstavit, nejake dva intervaly, A a B, pre ktore A U B = C , pricom funkcia konverguje stejnomerne na oboch intervaloch ale nie na C. Mozes mi to prosim objasnit?
Položme Pak platí:
V tomto případě totiž když vezmeme lib. prvek z A U B, tak je to prvek buď z A nebo z B (příp. z obou). A jelikož n > n_3 >= n_1 a n > n_3 >= n2, tak máme zaručeno, že .
A tedy otázka 2 (c) má odpověď NE, což se ukázalo např. tak, že
A ještě mohu doplnit návod na 3 (b). Ukáže se, že poloměr konvergence je 1, tedy na (0,1) řada určitě konverguje. Proto ji tam můžeme zderivovat člen po členu a pak ukázat, že nám vyšla kladná funkce (ta derivace). Proto je f rostoucí na (0,1).